Deje f ser una función continua. Quiero demostrar \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 n x^n f(x) \; dx = f(1) Puedo tratar de dividir la integral sobre los intervalos de [0, 1-\delta], [1-\delta, 1]. La integral sobre la [0, 1-\delta] desvanece como n \rightarrow \infty, pero estoy teniendo dificultades para la estimación de la integral sobre la [1-\delta, 1]. Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Tu idea es genial. Uno puede hacer lo siguiente. En primer lugar, tenga en cuenta que para cualquier integrable f \int_0^1 t^nf(t)dt\to 0 so we may consider n+1 instead of n inside the integrand. This helps, because now f(1)=\displaystyle\int_0^1(n+1)t^nf(1)dt. Pick 1>\delta>0, let g(t)=f(t)-f(1) and note g(t)\0 as t\a 1, g(1)=0, and write as you say \begin{align}\left|\int_0^1 (n+1)t^n(f(t)-f(1))dt\right|&=\left|\int_0^{1-\delta} (n+1)t^n g(t)dt+\int_{1-\delta}^1 (n+1)t^n g(t)dt\right|\\ &\leqslant \left|\int_0^{1-\delta} (n+1)t^n g(t) dt\right|+\left|\int_{1-\delta}^1 (n+1)t^n g(t) dt\right|\end{align}
La primera integrando va a cero desde (n+1)t^n (f(t)-f(1))\to 0 uniformemente a lo largo de ese intervalo para cualquier \delta >0. Dado \varepsilon>0; se puede hacer la segunda integral de la <\varepsilon saber que f(t)-f(1)\to 0t\to 1?
SPOILERS
Dado \varepsilon>0; elija \delta>0, de modo que |f(t)-f(1)|<\varepsilon si t\in[1-\delta,1]. A continuación, \begin{align}\left|\int_{1-\delta}^1 (n+1)t^n(f(t)-f(1))dt\right|&\leqslant \int_{1-\delta}^1 (n+1)t^n|f(t)-f(1)|dt\\ &\leqslant \varepsilon\int_{1-\delta}^1 (n+1)t^n dt \\ &\leqslant \varepsilon\int_0^1 (n+1)t^n dt =\varepsilon\end{align}
Nota no n apareció! Esta es la razón por la n+1 es mucho más conveniente que el n, es decir, porque normaliza la integral.