Encontrar la forma general de las soluciones de las relaciones de recurrencia $a_n=8a_{n-2}-16a_{n-4}$

Question

Tenía la esperanza de confirmar mis pasos y respuesta.

La ecuación característica de a$a_n=8a_{n-2}-16a_{n-4}$es $$r^4 = 8r^2 - 16$$ $$r^4 - 8r^2 + 16= r^4 - 4r^2 -4r^2 + 16= (r^2-4)(r^2-4) = (r-2)^2(r+2)^2$$ Hay raíces $2$ con multiplicidad $2$ e $-2$ con multiplicidad $2$ por lo tanto las soluciones de esta relación de recurrencia son de la forma: $$a_n=\alpha_1 2^n+\alpha_2n2^n+\alpha_3(-2)^n+\alpha_4n(-2)^n$$

Answer 1

Esto se ve bien. Se puede comprobar con $$\begin{align}8a_{n-2}-16a_{n-4}=&\,2\alpha_12^{n}+2\alpha_2(n-2)2^{n}+2\alpha_3(-2)^{n}+2\alpha_4(n-2)(-2)^n\\&-\alpha_1 2^n-\alpha_2(n-4)2^n-\alpha_3(-2)^n-\alpha_4(n-4)(-2)^n\\=&\,a_n\end{align}$$ También, ya que la diferencia ecuación relaciona solamente con los términos de la secuencia de hasta la separación, los pares y los impares términos de evolucionar de forma independiente. Así que usted puede escribir, por extraño $n$, $$a_n=\beta_12^n+\beta_2n2^n$$and for even $n$, $$a_n=\beta_32^n+\beta_4n2^n$$(Here, $\beta_1=\alpha_1-\alpha_3,\beta_2=\alpha_2-\alpha_4,\beta_3=\alpha_1+\alpha_3\,\beta_4=\alpha_2+\alpha_4$)

Answer 2

La ecuación característica que tienen es en realidad el resultado de la esperanza de una solución de la forma $a_n=r^n$:

$r^n=8r^{n-2}-4r^{n-4}$ da la ecuación característica en la simplificación.