$\lim_{n \rightarrow\infty} ~ x_{n+1} - x_n= c , c > 0$ . A continuación, se $\{x_n/n\}$ convergente?

Question

Si $\{x_n\}$ es una secuencia que satisface $\lim_{n \rightarrow\infty} ~ x_{n+1} - x_n= c$ donde $c$ es un número real positivo. Entonces, ¿qué puede decirse acerca de la convergencia/ divergencia, acotamiento/ ilimitado de $\{x_n/n\}$.

Intento: $\lim_{n \rightarrow\infty} ~ x_{n+1} - x_n= c$ donde $c >0$

=> $x_n$ es ilimitado y divergentes.

Sin embargo, estoy atascado en cómo relacionar esta a la convergencia/divergencia de $x_n/n$ . Gracias por la ayuda.

Answer 1

Pretendemos que $x_n/n\rightarrow c$.

Como en el comentario que escribimos $a_n=x_n-x_{n-1}$. Entonces $x_n=\sum_{k=1}^n a_k$ $\color{red} { (1) }$. La suposición se convierte en$a_n\rightarrow c$$x_n/n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k$.

Entonces

$$x_n/n-c=\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k\right) - c = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (a_k-c)\quad \color{red} { (2) }$$

Deje $\epsilon>0$ y elija $N$ lo suficientemente grande tal que $|a_n-c|<\epsilon$ todos los $n\ge N$. Entonces

$$\left|\frac{x_n}{n}-c\right|\le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^N |a_k-c| + \frac{n-N}{n}\epsilon$$

para $n\ge N$. Ahora vamos a $n\rightarrow\infty$, manteniendo $N,\epsilon$ fijo. A continuación, obtenemos

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{x_n}{n}-c\right|\le \epsilon$$

Desde $\epsilon$ fue arbitraria, la conclusión de la siguiente manera.

Nota:

En esencia nos demostró que un summable de la serie es también Cesàro summable.

Answer 2

Que se puede derivar directamente de Stolz-Cesaro teorema (más de la cuenta completa aquí) tomando la $b_n = n.$

$$\lim_{n \to \infty} x_{n+1}-x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{n}$$

al $\lim_{n \to \infty} x_{n+1}-x_n$ existe.

Answer 3

Disculpas por la edición de Su Anuncio Aquí, pero por favor alguien puede comprobar (1) y (2)?

(1) = $\sum_{1 \le k \le n} x_k - x_{k - 1}$ que telecopes a $-x_0 + x_n$, no sólo a $x_n$ ?