¿Conectividad después de la realización geométrica?

Question

Supongamos que tengo un mapa de espacios simpliciales,

$f: X_* \to Y_*$,

y que sé que el mapa en cero espacios$f_0: X_0 \to Y_0$ está conectado a n. ¿Puedo concluir algo sobre la conectividad del mapa de realizaciones geométricas?

$|f|: |X| \to |Y|$

¿Existen condiciones razonables que pueda colocar en los espacios de simplicidad X e Y que me permitan concluir algo en este sentido? Estoy especialmente interesado en saber cuándo el mapa está conectado a 0 (es decir, una supresión en$\pi_0$).

Answer 1

Si sabe que el mapa en k-simplices está conectado (nk), puede deducir que el mapa en las realizaciones está conectado n. No creo que puedas hacerlo mejor en ningún tipo de generalidad.

Answer 2

Sí, es una supresión en$\pi_0$, porque cada componente de$|Y|$ tiene al menos un componente de$Y_0$.

Más allá de eso no hay restricciones. Por ejemplo, puede obtener cualquier tipo de homotopía para$|X|$ y$|Y|$ y cualquier tipo de homotopía para el mapa entre ellos con$X_0$ y$Y_0$ solo un punto, siempre que pregunte que$\pi_0(|X|)$ y$\pi_0(|Y|)$ son triviales.

(Estoy tomando "espacio de simplicidad" para significar un objeto de simplicidad en la categoría de espacios topológicos, dicen los compactos de Hausdorff).