Variación cuadrática del proceso Ornstein-Uhlenbeck.

Question

Deje $(X_t)_{t\geq 0}$ ser el valor cero de Ornstein-Uhlenbeck tal que $X_0 = 0$ casi seguramente, es decir, $$X_t = \sigma e^{-\alpha t}\int_0^t e^{\alpha s}\,dB_s \quad \qquad (\triangle)$$ Por otro lado, $(X_t)$ es el único proceso que satisface la SDE $$dX_t = \alpha X_t\,dt + \sigma\,dB_t \quad X_0 = 0 \qquad (\square)$$

Desde el SDE $(\square)$ satisface el crecimiento y las condiciones de Lipschitz, sabemos que el fuerte de la solución a este SDE, $(X_t)$, existe, es única y continua.

A partir de la segunda $[X,X]_t = [\int \alpha X_s\,ds + \int \sigma\,dB_s,\int \alpha X_s\,ds + \int \sigma\,dB_s]_t = [\int \sigma\,dB_s, \int \sigma\,dB_s]_t = \sigma^2 t$

Aquí realmente se necesita continuidad para asegurarse de que la contribución de $\int \alpha X_s\,ds$ a la variación cuadrática es $0$ desde entonces, esta integral es de variación acotada y continua.

De todos modos, mi pregunta es ¿cómo se podía calcular $[X,X]_t$ base $(\triangle)$? Yo sé que para semimartingales $M,N$ $$[G\cdot M,H\cdot N]_t = \int_{(0,t]}G_sH_s\,d[M,N]_t$$ He aplicado este resultado a mi caso como sigue \begin{align}[X,X]_t =& [\sigma e^{-\alpha t}\int_0^t e^{\alpha s}\,dB_s,\sigma e^{-\alpha t}\int_0^t e^{\alpha s}\,dB_s]\\ =& \sigma^2 [\int_0^t e^{-\alpha (t-s)}\,dB_s, \int_0^t e^{-\alpha (t-s)}\,dB_s]\\=& \sigma^2 \int_0^t e^{-2\alpha (t-s)}ds \neq \sigma^2 \end{align} Claramente, estoy haciendo algo mal en el último paso. Me siento como el $e^{-\alpha t}$ plazo en $X_t$ debe ser manejado de una manera diferente, pero yo no podía envolver mi cabeza alrededor de este.

Answer 1

No se puede aplicar la fórmula

$$[G \bullet M]_t = \int_0^t G_s^2 \, d[M]_s \tag{1}$$

debido a que el Ornstein-Uhlenbeck $X$ no es de la forma

$$X_t = (G \bullet B)_t,$$

pero de la forma $$X_t = (G_t \bullet B)_t$$ and -as your calculation show- we cannot expect that $(1)$ extends to this larger class of processes. The reason is, roughly, that $dt$-terms need a different compensation than $dB_t$-terms - and if you shift the multiplicative $dt$-term under the stochastic integral, then you pretend that it behaves, in some sense, like a $dB_t$plazo ... pero no.

La forma correcta es la siguiente:

1. Definir $$Y_t := \int_0^t e^{\alpha s} \, dB_s.$$ Calculate $[Y]_t$ (that you can do using $(1)$.)
2. Aplicar la fórmula de Itô para encontrar los diferenciales estocásticas $$d(X_t^2) = \sigma^2 d(e^{-2\alpha t} Y_t^2).$$
3. El $dt$plazo de los diferenciales estocásticas $d(X_t^2)$, obtenido en el paso 2, es igual a la variación cuadrática $[X]_t$.

Answer 2

En la fórmula$$[G\cdot M,H\cdot N]_t = \int_{(0,t]}G_sH_s\,d[M,N]_t,\tag{1}$ $$G$ y$H$ son funciones de$s$ únicamente. Sin embargo, en su caso,$G=H=\sigma e^{-\alpha(t-s)}$, que no son funciones de$s$ solamente, y entonces la fórmula$(1)$ no es aplicable.