Coincidentemente, pensé acerca de esto hace un par de semanas (sin llegar a ninguna conclusión). Creo que puedo demostrar que un "débilmente localmente separados" algebraica de espacio X con un étale cubrir Spec(k)->X es de la forma Spec(k') si X vidas sobre un campo k_0 tales que k/*k*_0 es algebraico. Si X no es localmente separados, esta condición no siempre se cumple (tomar Un^1/Z , donde Z actos por la traducción y limitar la acción a los genéricos de punto).
Vamos K se la clausura algebraica de k. Deje que R=Spec(K) x_ X Spec(K). Por supuesto
j : R -> Spec(K) x_{k_0} Spec(K)
es una inmersión y es suficiente para demostrar que este es un cerrado de inmersión (desde fpqc morfismos descender cerrado inmersiones).
Se puede sustituir k_0 con su perfecto cierre. Esto se deduce de la observación de que R es reducido.
Ahora, la mano derecha de esquema es un esquema de grupo de más de Spec(K). De hecho, es la parte fundamental del esquema de grupo \pi_0(k_0). Es totalmente desconectada y todos sus residuos campos son K y el grupo de K-puntos es el pro-finito grupo Gal(K/*k*_0).
R es también totalmente desconectado y que todos sus puntos tienen el residuo campo K. El mapa
j(K) : R(a*K*) -> Gal(K/*k*_0)
es inyectiva y cerrado. Puesto que R(a*K*) => K(*K*) es una relación de equivalencia, se sigue que j(K) identifica R(*K*) con un subgrupo de los Gal(K/*k*_0).
Lema: Un local cerrado subgrupo H de un grupo topológico G es cerrado.
pf: El cierre de H es un subgrupo de modo que podemos suponer que H es abierto. Entonces es fácil ver que el complemento de H es abierto.
Por lo tanto, R(*K*) es un cerrado subgrupo de los Gal(K/*k*_0). En particular, j es un cerrado de inmersión.
Observación: Si K/*k*_0 no es algebraico, entonces (si K es algebraicamente cerrado) todavía tenemos una estructura de grupo en el K-puntos de el producto de fibra de K sobre k_0. R(**K) es un subgrupo cerrado de este grupo, pero no está claro si esto implica que j es cerrado.
