El tensor de curvatura de Riemann, en coordenadas locales, $R_{ijkl}$ tiene las siguientes simetrías: $$R_{ijkl}+R_{jikl}=0;$$ $$R_{ijkl}+R_{ijlk}=0;$$ $$R_{ijkl}=R_{klij};$$ $$R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0.$$ Estas identidades algebraicas hacen que el grado de libertad de curvatura sea $\frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ . donde $n$ es la dimensión del colector. Creo, pero tengo problemas para demostrarlo, que estas identidades describen completamente las simetrías puntuales del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier $\frac{1}{12}n^2(n^2-1)$ números, podemos encontrar una variedad riemanniana tal que el tensor de curvatura $R_{ijkl}$ evaluado en cierto punto, en alguna coordenada local, es de estos números particulares.
Respuesta
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studiosus
Puntos
19728
Puede encontrar una respuesta positiva (¡y mucho más!) en
"Métrica riemanniana con el tensor de curvatura prescrito y todas sus derivadas covariantes en un punto", por M. Berger y O. Kowalski, Mathematische Nachrichten, Volumen 168 (1994) Número 1, p. 209-225.
Si su biblioteca no tiene la revista, probablemente pueda conseguirla mediante algún tipo de préstamo interbibliotecario.
