Extensiones de campo sobre$\mathbb{Q}$

Question

¿Hay alguna diferencia entre$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ y$\mathbb{Q}[\sqrt2]$?

Solía sentirme muy cómodo con la definición de$\mathbb{Q}[\sqrt2]$, pero una vez que llegué a las extensiones de Simple Field, se introdujo una nueva notación, la de$\mathbb{Q}(\sqrt2)$ que me confundió un poco.

Gracias

Answer 1

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es el campo más pequeño que contiene$\mathbb{Q}$ y$\sqrt{2}$. $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ si, por definición, el anillo que consta de todos los elementos$p(\sqrt{2})$ para$p$ cualquier polinomio en$\mathbb{Q}[x]$. No es demasiado difícil demostrar que, de hecho,$\mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} : a,b\in \mathbb{Q}\}$. Así que claramente tienes$\mathbb{Q}[\sqrt{2}] \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Entonces, si puede encontrar un elemento inverso a cualquier elemento general (distinto de cero)$a + b\sqrt{2}$, entonces ha demostrado que cada elemento (distinto de cero) tiene un inverso, por lo que$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ es en realidad un campo y $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \mathbb{Q}[\sqrt{2}]$.

Answer 2

Mucho más en general, si $r$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, luego $$ \mathbb{Q}[r]=\mathbb{Q}(r) $$ Por supuesto, es suficiente para mostrar que cualquier elemento distinto de cero en $\mathbb{Q}[r]$ tiene su inverso en $\mathbb{Q}[r]$. Pero es sabido que un elemento $s\in\mathbb{Q}[r]$ es de nuevo algebraicas sobre $\mathbb{Q}$, por lo tanto, si $s\ne0$, tiene un mínimo de polinomio $$ p(X)=a_0+a_1X+\dots+a_{n-1}X^{n-1}+X^n\in\mathbb{Q}[X] $$ con $a_0\ne0$ (de lo contrario el polinomio no ser mínimo de $s$). Por lo tanto $$ 0=s^{-1}(a_0+a_1s+\dots+a_{n-1}^{n-1}+s^n) $$ y así $$ s^{-1}=-a_0^{-1}(a_1+a_2s+\dots+a_{n-1}^{n-2}+b^{n-1})\in\mathbb{Q}[s] \subseteq\mathbb{Q}[r]. $$