¿Cómo resolver esta ecuación de diferencia no lineal$a_{n+1} = 2a_n + \frac{1}{a_n}$,$a_1 = 1$?

Question

Cómo resolver esta ecuación de diferencia no lineal$$a_{n+1} = 2a_n + \frac{1}{a_n},\quad a_1 = 1.$ $

Answer 1

Claramente, todos los$a_n$ 's son positivos. Entonces,$a_{n+1}>2a_n$ para cada$n$, esto implica que$a_n\ge 2^{n-1}$ para cada$n$.

Al insertar esto en la ecuación de diferencias, se muestra que$$0<\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_{n}}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n+1}a_n}\le \frac{1}{2^{2n}}$ $ y se llega a la conclusión de que existe un número$k\in(1/2,5/6) $ tal que$\lim\limits_{n\to\infty}a_n2^{-n}=k$.