Resolviendo

Question

La resolución de $$\sin(x)-\cos(x)=1$$ para $x$. He utilizado Pitágoras Theoream y $$C\sin(x+\alpha)=A\sin(x)+B\cos(x)$$ donde $A=1$ e $B=-1$, y he obtenido $$C=\sqrt{2}$$ $$\alpha = \dfrac{\pi}{4}$$ y sustituidos donde, $$\sqrt{2}\sin(x+\dfrac{\pi}{4})=1$$ pero de alguna manera creo que hay algo mal con mi cálculo, debido a que en Wolfram es $$-\sqrt{2} \sin(\dfrac{\pi}{4}-x)=1$$ y no entiendo por qué obtengo una solución diferente, hice todo lo correcto de manera algebraica.

Answer 1

Cometiste un error:

$$ \ sin x - \ cos x = \ sqrt2 \ sin \ left (x \ color {red} - \ frac \ pi4 \ right). $$

La exactitud de la última expresión se puede verificar fácilmente mediante la fórmula de suma trigonométrica:

$$ \ sin (x + y) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y. $$

Answer 2

Preferiría usar la sustitución $$\cos(x)=(\pm)\sqrt{1-\sin^2(x)}$$ to obtain $$\sin(x)-\cos(x)=1\iff\ldots\iff \sin(x)-1=(\pm)\sqrt{1-\sin^2(x)}$ $ Escuadrar $$\sin^2(x)-2\sin(x)+1=1-\sin^2(x)\iff 2\sin^2(x)-2\sin(x)=0\iff \color{blue}{\sin^2(x)-\sin(x)=0}$ $

¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 3

No, estas bien

Recuerda que $\sin(-x)=-\sin(x)$ .

Eso significa que $-\sqrt{2} \sin(\dfrac{\pi}{4}-x)$ es equivalente a $\sqrt{2} \sin(x-\dfrac{\pi}{4})$

Answer 4

Sugerencia: utilice la llamada sustitución de Weierstrass: $$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$ $ $$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ $

Answer 5

Una cosa que podrías hacer es cuadrar ambos lados. Esto produce $$\sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x=1\\1-2\sin x\cos x=1\\\sin x\cos x=0\\\sin x=0\text{ or }\cos x=0.$$ This provides us with all integer multiples of $ \ frac \ pi2$ as possible solutions. However, we must be a bit wary, since some of these may actually be solutions to $$\sin x-\cos x=-1.$$ Fortunately, periodicity means that we only have to check $ 0, \ frac \ pi2, \ pi, \ frac {3 \ pi} 2 $ Para ver cuál de esas obras, entonces concluye el resto en consecuencia.