Si un mapa $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es aditivo, en el sentido de que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ entonces es sencillo demostrar que $f$ es $\mathbb{Q}$ -lineal, comprarlo no tiene por qué ser $\mathbb{R}$ -lineal en general. Este es un problema clásico, conocido como Ecuación funcional de Cauchy . Resulta que en cuanto la función es mínimamente regular (continua, acotada en un intervalo, o medible), se puede demostrar que tiene que ser lineal, y por tanto de la forma $f(x) = cx$ para algunos $c \in \mathbb{R}$ .
Resulta que después de un poco de trabajo, se puede demostrar una afirmación similar sobre los mapas del toro $T = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ : si $f :\ T \to T$ obedece a $f(x+y) = f(x) + f(y)$ y es medible, entonces es de la forma $f(x) = cx$ , donde $c \in \mathbb{Z}$ .
Creo que se deduce que los mapas aditivos en $T^m$ o $\mathbb{R}^n$ o incluso $\mathbb{R}^n \times T^m$ son necesariamente "lineales". Creo que se puede demostrar aplicando la $1$ -resultado de la dimensión a $t \mapsto \pi f(tv)$ , donde $\pi$ son proyecciones y $v$ son vectores. (Por ejemplo, para $T^2$ , escriba $f(t_1,t_2) = (f_{11}(t_{1}) + f_{12}(t_2), f_{21}(t_{1}) + f_{22}(t_2))$ y la razón de cada uno $f_{ij}$ independientemente).
Me gustaría preguntar dos cosas, y estaría muy agradecido por cualquiera de ellas.
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¿Se conoce en general el resultado para el caso de los toros y/o las multidimensiones, y si es así, cuál sería una buena palabra clave para una búsqueda posterior o una referencia? ¿Existe una prueba fácil para el toro? (mi razonamiento para el toro es muy parecido al estándar para $\mathbb{R}$ que yo sepa, pero tal vez haya una reducción inteligente de uno a otro).
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Si no me equivoco en el caso multidimensional, se seguiría que un mapa aditivo de un conmutativo El grupo de la mentira en sí mismo es automáticamente continuo, e incluso tiene una forma particularmente agradable. ¿Es cierto que un mapa aditivo de un grupo de Lie general hacia sí mismo es automáticamente continuo?
Editar/Responder Resulta que las cuestiones relacionadas se han estudiado con mucho éxito y se comprenden relativamente bien (al menos en la medida en que hay resultados sólidos sobre el tema). El fenómeno en cuestión se conoce como Continuidad Automática, y ha sido estudiado por la escuela matemática polaca, y por Andre Weil. Existen teoremas que aseguran la continuidad de los homomorfismos medibles de Baire entre grupos polacos (Banach) y del homomorfismo medible de Haar de un grupo polaco localmente compacto a un grupo polaco (Weil). Animo a quien esté interesado a consultar este excelente par de preguntas/respuestas en MathOverflow.
