Ayuda a la prueba. Núcleo-compacto, Hausdorff, Localmente Compacto

Question

Al leer sobre topologías en espacios de funciones continuas, he visto comentarios de que núcleo-compacto y localmente compacto son equivalentes para espacios Hausdorff.

Ahora puedo ver claramente que localmente compacto siempre implica núcleo-compacto, por lo que la condición de Hausdorff entra en la prueba de la inversa.

Dejemos que $K$ sea un espacio Hausdorff de núcleo compacto. Sea $x\in U\subseteq K$ con $U$ abierto. Necesito demostrar que $U$ contiene una vecindad compacta de $x$ . Desde $K$ es núcleo-compacto hay una vecindad abierta $V$ tal que $x\in V\subseteq U$ con $V\ll U$ .

No sé a dónde ir desde aquí.

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Aquí están los dos documentos que me hacen creer que esto es un teorema:

Compactación del núcleo y diagonalidad en espacios de conjuntos abiertos

Topologías sobre espacios de funciones continuas

He encontrado otra fuente que afirma algo mejor: todo espacio sobrio de núcleo compacto es localmente compacto (aunque no puedo ver la prueba del teorema; podría comprarlo).

Topología no Hausdorff

Esto indica que la propiedad de los espacios de Hausdorff que queremos explotar es el hecho de que la intersección de todas las vecindades cerradas de un punto es precisamente ese punto.

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Ahora pido ayuda para completar la prueba. Esto me ha estado molestando durante mucho tiempo.

Answer 1

Esto se puede hacer fácilmente con ultrafiltros . De forma similar a la caracterización del ultrafiltro de la compacidad, $V\ll U$ equivale a decir que cada ultrafiltro que contiene $V$ tiene un límite en $U$ .

Para la prueba, dejemos que $x\in X$ . Por la compacidad del núcleo, podemos elegir barrios abiertos $U$ y $V$ de $x$ tal que $V\ll U$ y $U\ll X$ . Todos los ultrafiltros que contienen $V$ no tienen límite fuera de $U$ ya que tienen un límite en $U$ y sólo pueden tener un límite gracias a la Hausdorffidad. Pero esto significa que $\overline{V}\subseteq U$ . Por lo tanto, todo ultrafiltro que contenga $\overline{V}$ contiene $U$ y como $U\ll X$ Estos ultrafiltros convergen. Como $\overline{V}$ está cerrado, convergen a algo en $\overline{V}$ . Así que $\overline{V}$ es compacto. Así que $x$ tiene un barrio compacto.

Answer 2

Probablemente no sea lo más rápido, pero aquí hay una sugerencia para el núcleo-compacto $\Rightarrow$ regularidad local.

Dejemos que $z \in X$ . Dejemos que $z \in V \subset U$ como en la definición de núcleo compacto. Sea $x \in V$ y $E \subset V$ un subconjunto cerrado que no contiene $x$ . Para cada $y \in F=\overline{E}^U$ elegir un barrio abierto $U_y$ con $x \notin \overline{U_y}$ que podemos hacer porque $X$ es Hausdorff. La cubierta $\{U_{y}\}_{y \in F} \cup \{ F^c =U \setminus F \}$ es una cubierta abierta de $U$ y por tanto tiene una subcubierta finita $U_{y_1},...,U_{y_n}, F^c$ que cubre $V$ .

Establecer $U' = U_{y_1} \cup U_{y_2} \cup ... \cup U_{y_n}$ . El conjunto abierto $U'$ cubre $E$ .

$x \notin \overline{U_{y_1}},...,\overline{U_{y_n}}$ por construcción de los conjuntos abiertos $U_y$ así que $x \notin \overline{U'}$ . Es decir, $V$ es regular.

Resto de pruebas de la sección de comentarios añadidas para completar: En primer lugar, utilice la regularidad local para reducir al caso en que $U$ es regular. Sea $z \in X$ y $z \in V \subset U$ como en la definición de núcleo compacto. $U$ es regular por suposición por lo que existe una vecindad cerrada $C \subset V$ que contiene $z$ . Cualquier tapa abierta de $C$ se extiende a una cubierta abierta de $U$ añadiendo $U \setminus C$ . Cualquier cubierta abierta de este tipo tiene una subcubierta finita que cubre $V$ que cubre $C$ . Retirar el conjunto $U \setminus C$ a partir de esta subcubierta finita se obtiene una subcubierta finita de $C$ .

Answer 3

Esto sería más adecuado como comentario, pero todavía no puedo hacerlo.

Probablemente encontrarás una prueba en línea con bastante facilidad si buscas "exponenciabilidad", pero para una prueba más específica ve a "A Compendium of Continous Lattices" (puedes encontrarlo en línea) por Gierz, Hofmann, Keimel, Lawson, Mislove, Scott. Creo que allí se demuestra directamente algo así como que dado un espacio de Hausdorff y $U, V$ abrir entonces $U \ll V$ implica la existencia de un compacto $W$ para que $U \subseteq W \subseteq V$ .