Estoy luchando por utilizar el algoritmo euclidiano para los polinomios.
Teniendo en cuenta algo como $$GCD(x^5+1, x^3+1)$$
Puedo utilizarlo fácilmente de la siguiente manera:
$$x^5+1 = x^2(x^3+1) -x^2 +1 \\ x^3+1 = -x(-x^2+1) + x +1 \\ -x^2+1 = (x+1)(-x+1)$$
GCD = x+1
Pero para algo como $$GCD(2x^2+6x+3, 2x+1)$$
No consigo averiguar cómo hacerlo con el mismo método. Empiezo así:
$$2x^2+6x+3 = x(2x+1) + 5x+3\\ 2x+1 = \frac{2}{5}(5x+3) - \frac{1}{5}\\$$
y no estoy seguro de cómo continuar. Cualquier ayuda sería apreciada, perdón por mi pobre intento de usar LaTeX.
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Si he hecho ingeniería inversa de tu método... has mostrado $\gcd(2x^2 + 6x + 3,2x+1) = \gcd(5x+3, -1/5)$ . ¿No es el siguiente paso encontrar el resto cuando $2x+1$ se divide por $-1/5$ ? Si ayuda, ya que $-5$ es presumiblemente invertible, lo que significa que puedes multiplicar o dividir uno de los argumentos por él cuando quieras.
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Para este caso, tendrá $2x+1$ divide $2x^2+6x+3$ o son coprimos. Así que sólo hay que comprobar la divisibilidad de $2x^2+6x+3$ .
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Además, el resto después de la división debe tener siempre un grado menor que el divisor, por lo que puedes ver que tu división no se hace en el primer paso.
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Cuando haces GCD con enteros, puedes parar cuando obtienes el resto $1$ porque todo es divisible por $1$ . Cuando lo haces con polinomios con coeficientes racionales (o reales o complejos o..), puedes parar siempre que llegues a una constante, porque todo polinomio es divisible por todas las constantes distintas de cero.
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Deberías hacer la división $2x^2+6x+3 = (x+\frac52)(2x+1) + \frac12$
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Así que (siguiendo la sugerencia de Hurkyl) el siguiente paso muestra que $2x+1$ es divisible por $1/5$ y el algoritmo termina con la respuesta $1/5$ . Todas las constantes no nulas son asociadas en el anillo polinómico, por lo que cualquiera de ellas funciona igual de bien que GCD. La elección GCD=1 es común, porque entonces (como en el caso de los enteros) esto indica que no hay divisores comunes (interesantes).
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@Easy No es necesario que se utilice el menos resto en cada paso.
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Todavía no lo entiendo bien. Si continuara entonces pensaría en hacer: (5x+3) = -1/5(-25x-15) + 0. ¿Y entonces GCD = 1? No entiendo por qué demostraría que 2x+1 es divisible por 1/5 en cambio?
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@usuario: Si $a | b$ entonces $\gcd(a,b) = a$ . Si se toma un remanente, entonces $\gcd(a,b) = \gcd(0,a) = a$ . De cualquier manera se obtiene el mismo resultado. Tomar los restos hasta llegar a cero requiere menos reflexión; pero si ves una forma de identificar la respuesta antes, está bien hacerlo.