Usando la teoría del valor extremo para estimar los límites.

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria $X$, que yo sepa es doblemente acotado en apoyo a $[0,\theta]$, pero no sé $\theta$ (no sabemos nada sobre la distribución de $X$, pero asumir que no es una locura tan habitual regularidad condiciones se aplican cuando usted los necesita). Considere la posibilidad de $Y:=X+Z$ donde $Z$ es normal estándar ($X$$Z$ son independientes). Y supongo que dibujar $Y_1,Y_2,...$ que se yo.yo.d. lecturas de $Y$.

El uso de la respuesta publicada (en realidad el appendum a la respuesta) para este (teoría de valores extremos: mostrar normal gumbel), y suponiendo que yo hice mis cálculos derecho, me mostró que $Y_{(n)}$, cuando debidamente normalizados con la $(a_n,b_n)$ dado en el appendum de la solución, converge a la Gumbel así.

Mi pregunta es: ¿hay una manera de utilizar este proceso para proporcionar algunas estimaciones en $\theta$? Siento que antes de la normalización de la $Y_{(n)}$, es posible que tengamos un desplazado, versión a escala de Gumbel con el cambio que refleja el valor de $\theta$ alguna manera (intuitivamente, como $n$ se hace más grande, el índice de $j$ que $Y_j = Y_{(n)}$ es más y más probabilidad de ser tal que $X_j = X_{(n)}$ que se acercan más y más a $\theta$, por lo que para gigantesco $n$, quizás $Y_{(n)}$ es algo como $Z_{(n)} + \theta$?) Me parece que no puede justificar matemáticamente este o encontrar un procedimiento para extraer algunas estimaciones de $\theta$. Alguna sugerencia?

Answer 1

Reafirmando mi comentario, ya que $Z_{(n)}$ $X_{(n)}$ no tienen que aparecer necesariamente en el mismo par de realizaciones, no podemos decir que $Y_{(n)}$ aproximado de la suma de los mismos. Pero un momento de reflexión muestra que, para cualquier finito $n$

$$Y_{(n)} \in [Z_{(n)},\;Z_{(n)}+\theta]$$

El límite superior es obvio. El límite inferior se deriva del hecho de que si se les da la par de realizaciones $\{Z_{(n)}, X_{Z_{(n)}}\}$, existe otro par $\{Z_i,X_i\}$ tal que $Z_i + X_i > Z_{(n)}+X_{Z_{(n)}}$, va a caer dentro de la anterior intervalo, mientras que, si no hay pareja existe, entonces el menor valor posible para $Y_{(n)}$ provendrá de los par $\{Z_{(n)}, 0\}$ desde $X$ está delimitada desde abajo en $0$.

Adoptando ahora un enfoque ingenuo, podemos aproximar el valor esperado de $Y_{(n)}$ por la gama media, y en expectational desde $Z_{(n)}$ es al azar,

$$E[Y_{(n)}] \approx \frac {E[Z_{(n)}]+ \left(E[Z_{(n)}]+\theta\right)}{2} = E[Z_{(n)}]+\theta/2$$

Si se dispone de una muestra de realizaciones de $Y$, un método de estimación de $\theta$ será al azar a la partición de este ejemplo en sub-muestras de igual tamaño de la muestra, formar una colección con la maxima de estos sub-muestras, y aplicar un método de momentos enfoque,

$$\hat \theta = 2\Big(\hat E[Y_{(n)}]-E[Z_{(n)}]\Big)$$

En concreto, si tenemos disponible $j=1,...,m$ ejemplos de realizaciones de $Y$, cada uno de tamaño $k$ formulario de la muestra

$$S_m =\{Y_{(k)1},...,Y_{(k)j},...,Y_{(k)m} \}$$

y tomamos como una estimación de $\theta$,

$$\hat \theta = 2\Big(\frac 1m \sum_{j=1}^m Y_{(k)j}-E[Z_{(k)}]\Big)$$

SIMULACIÓN

Me generaron $100$ de las muestras de cada uno de tamaño $k=50$. Me puse a $X$ a ser un uniforme de $U(0,1)$. Por lo $\theta = 1$. Una aproximación para el valor esperado de $Z_{(k)}$$E[Z_{(k)}]\approx \Phi^{-1}(0.5264^{1/k}) = 2.234$$k=50$. He obtenido $$\hat \theta = 2\cdot (2.803 -2.234) = 1.138$$

Tenga en cuenta también que $E[Z_{(n)}]+\theta/2 = 2.734$, no muy lejos de la empíricos media de $Y_{(k)j}$, $2.803$.

Naturalmente, esto es sólo una indicación (y no excluye la posibilidad de valores negativos para la estimación). Por otra parte sine el rango de $Y_{(n)}$ es exactamente $\theta$, uno podría pensar que a lo largo de las líneas de la estimación de este rango, por la elaboración de un adecuado ajuste de la escala de cada una de las $Y_{(k)j}$ (ya que cada uno depende de diferentes $Z_{(k)j}$).