Abuso de notación con distribuciones.

Question

Una distribución es un elemento del continuo espacio dual de alguna función del espacio. Tomemos el espacio de Schwartz $\mathcal{S} := \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ sólo como un ejemplo. Una distribución $\phi \in \mathcal{S}'$ es entonces un mapa $$ \phi: \mathcal{S} \rightarrow \mathbb{C}.$$

Mi pregunta es esta: ¿cómo debo interpretar $\phi(x)$? Veo que esta escrito mucho, pero no entiendo cómo trabajar con él. Lo que hace por ejemplo $\phi(x) = \phi(-x)$ significa? La única cosa que puedo pensar es que la $\phi(f) = \phi(\hat{f})$ donde $\hat{f}(x) = f(-x)$.

Y más específicamente para el problema en el que estoy trabajando: tengo una distribución $$ \mathcal{W} : \mathcal{S}(\underbrace{\mathbb{R}^4 \times \dots \times \mathbb{R}^4}_{n \text{ times}}) \rightarrow \mathbb{C} $$

y luego dicen que $\mathcal{W}$ es la traducción de todos los idiomas, es decir, $$\mathcal{W}(x_1 +a,\dots, x_n + a) = \mathcal{W}(x_1,\dots,x_n)$$ así que puede ser writthen como una distribución de $\mathfrak{W}$ que sólo depende de las diferencias $x_1-x_2,\dots,x_{n-1} - x_n$: $$\mathcal{W}(x_1,\dots,x_n) = \mathfrak{W}(x_1-x_2,\dots,x_{n-1}-x_n).$$

¿Cómo debo interpretar esta última línea?

Answer 1

Cuando usted tiene un $C^{\infty}$ mapa de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ que es correcto (es de forma automática el caso con un $C^{\infty}$ bijection como traducciones), se puede definir el pushforward de una distribución por $f$. Si $u$ es una distribución en $\mathbb{R}^n$, $f_{!}u$ es una distribución en $\mathbb{R}^m$ definido por $f_!u(\varphi)=u(\varphi \circ f).$

Así, por ejemplo, la (peligrosa) la notación $u(x) = u(-x)$ significa que $f_!u = u$ $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n, x \mapsto -x.$

Lo mismo ocurre al considerar su traducción por $a$. Llamémoslo $\mu_a.$ La condición $$\mathcal{W}(x_1 +a,\dots, x_n + a) = \mathcal{W}(x_1,\dots,x_n)$$ means that $\mathcal{W}=\mu_ {!}\mathcal{W}$

Ahora definir el mapa de $g : (\mathbb{R}^4)^n \to (\mathbb{R}^4)^{n-1}, (x_1, ... ,x_n) \mapsto (x_1-x_2, ... , x_{n-1}-x_n).$ La última igualdad implica que la condición de $\mathcal{W}=\mu_{a!}\mathcal{W}$ implica que el $\mathcal{W}=g^*\mathfrak{W}$ para una determinada distribución de $\mathfrak{W}$$(\mathbb{R}^4)^{n-1}$.

Answer 2

El problema es que dado un mapa$f : X \rightarrow Y$, la notación$\phi(f(x))$ realmente debería significar que "$\phi$ se retiró a través de$f$." Pero, por supuesto, las distribuciones no retroceden de manera natural. Por lo tanto, creo que la notación$\phi(f(x))$ solo tiene sentido si$f$ es una función invertible, en cuyo caso realmente significa el$(f^{-1})_*(\phi),$, es decir, el empuje hacia adelante de$\phi$ a través del inverso de$f$.

Answer 3

Si la motivación es Wightman funciones, es mejor utilizar las diferencias $x_1-x_n,\ldots,x_{n-1}-x_n$ con un único punto de referencia $x_n$ más que en el consecutivo de las diferencias de $x_1-x_2, \ldots,x_{n-1}-x_n$. Así que permítanme considerar la afirmación de que como elementos en $S'(\mathbb{R}^{4n})$ $$ \mathcal{W}(x_1,\ldots,x_n)=V(x_1-x_n,\ldots,x_{n-1}-x_n) $$ para algunos $V$$S'(\mathbb{R}^{4(n-1)})$.

En primer lugar hacer algunos nonrigorous los cálculos de la siguiente manera. Deje $f(x_1,\ldots,x_n)$ ser una prueba de la función en $S'(\mathbb{R}^{4n})$.

$$ \int_{\mathbb{R}^{4n}} V(x_1-x_n,\ldots,x_{n-1}-x_n)f(x_1,\ldots,x_n) \ dx_1\cdots dx_n $$ $$ =\int_{\mathbb{R}^{4n}} V(z_1,\ldots,z_{n-1})f(z_1+x_n,\ldots,z_{n-1}+x_n,x_n) \ dz_1\cdots dz_{n-1}dx_n $$ por el cambio de las variables de $z_i=x_i-x_n$$1\le i\le n-1$. Por Fubini la última integral se convierte en $$ \int_{\mathbb{R}^{4(n-1)}} V(z_1,\ldots,z_{n-1})g(z_1,\ldots,z_{n-1}) \ dz_1\cdots dz_{n-1} $$ donde $g=\Gamma (f)$ está definido por $$ g(z_1,\ldots,z_{n-1})=\int_{\mathbb{R}^4} f(z_1+x_n,\ldots,z_{n-1}+x_n,x_n) \ dx_n\ . $$ Ahora usted puede hacer sentido riguroso de su RHS como la composición de la $V\circ \Gamma$ de la distribución de $V:S(\mathbb{R}^{4(n-1)})\longrightarrow\mathbb{C}$ con el continuo lineal mapa $$ \Gamma:S(\mathbb{R}^{4n})\longrightarrow S(\mathbb{R}^{4(n-1)})\ . $$