a) se los dejo a ustedes para mostrarles que $\phi \chi_U$ es inferior semi continua.
La sugerencia que le dieron es en realidad una parte de la Proposición 7.14. Corolario 7.13 realmente lee
$$
\int f \, d\mu = \sup \{\int g \,d\mu \,\mid\, 0\leq g \leq f \text{y } g\en C_c\}
$$
si $f$ es menor semicontinuo.
Con esta información, el primer intento de la parte (a) de nuevo. Si no del éxito, sigue leyendo.
Tenemos
$$\requieren{acción}
\toggle{ \text{haga clic en para obtener más sugerencia} }{
\begin{eqnarray*}
& & \nu\left(U\right)\\
& \overset{\left(\text{why?}\right)}{=} & \int\phi\chi_{U}\,{\rm d}\mu\\
& = & \sup\left\{ \int g\,{\rm d}\mu\,\middle|\,0\leq g\leq\phi\chi_{U}\text{ and }g\in C_{c}\right\} \\
& \overset{h\phi\in C_{c}\Longleftrightarrow h\in C_{c}}{=} & \sup\left\{ \int h\phi\,{\rm d}\mu\,\middle|\,0\leq h\leq\chi_{U}\text{ and }h\in C_{c}\right\} \\
& \overset{h\phi\in C_{c},\text{ definition of }\nu'}{=} & \sup\left\{ \int h\,{\rm d}\nu'\,\middle|\,0\leq h\leq\chi_{U}\text{ and }h\in C_{c}\right\} \\
& \overset{\text{Corollary 7.13 again}}{=} & \int\chi_{U}\,{\rm d}\nu'=\nu'\left(U\right).
\end{eqnarray*}
}
\endtoggle$$
Aquí, hemos utilizado en la última línea que $\chi_{U}$ es menor semicontinuo y que $\nu'$ es el Radón.
b) Vamos a $E\subset X$ ser Borel. Si $\nu\left(E\right)=\infty$, es
claro que $\nu$ es exterior regular en $E$, por lo que podemos suponer
$\nu\left(E\right)<\infty$ en lo que sigue. Ahora (con la notación como
en la sugerencia)
$$
E=\biguplus_{k\in\mathbb{Z}}\left(E\cap V_{k}\right).
$$
Deje $\varepsilon>0$ ser arbitraria. Vamos a mostrar que para cada una de las $k\in\mathbb{Z}$,
existe un conjunto abierto $U_{k}\supset E\cap V_{k}$$\nu\left(U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{2^{\left|k\right|}}$.
Esto implica la afirmación (por qué?).
Lo que sigue son sugerencias para la construcción de la $U_k$.
Tenga en cuenta que mediante la sustitución de $U_{k}$$U_{k}\cap V_{k}$, podemos suponer $U_{k}\subset V_{k}$.
Pero entonces tenemos
$$\requieren{acción}
\alternar
{\text{haga clic en para obtener más sugerencia}}
{
2^{k}\cdot\mu\left(U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)\right)\leq\nu\left(U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)\right)=\int_{U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)}\phi\,{\rm d}\mu\leq2^{k+2}\cdot\mu\left(U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)\right)\qquad\left(\ast\right),
}
\endtoggle
$$
de modo que es suficiente para obtener $\mu\left(U_{k}\setminus\left(E\cap V_{k}\right)\right)$
pequeño.
Para ello, tenga en cuenta que un argumento similarmente a $\left(\ast\right)$ muestra que $\mu\left(E\cap V_{k}\right)<\infty$.
Voy a dejar el resto de los detalles para usted.
c) en Primer lugar intentar esto.
Las medidas de $\nu$ $\nu'$ está de acuerdo en abrir sets (por la parte (a)) y por lo tanto externa regular (por la parte (b)). De ahí?
$ $
Ha $\nu'(E) = \inf \{\nu'(U) \mid U \supset E \text{ open}\} = \inf \{\nu(U) \mid \dots \} = \nu(E)$.
