Deje que$I = [0,\infty)$ y$f:I \to I$ sea continuo con f (0) = 0. Demuestre que si \begin{equation} f(t) \leq 1 + \frac{1}{10}f(t)^2, \text{ for all } t \in I \end {equation} entonces$f$ está delimitado de manera uniforme a través de$I$.
He tenido muchos problemas con este ... Tampoco he podido encontrar ningún problema como este. ¿Alguien tiene ideas?
Para $y$ real, la ecuación $$y\leq 1+\frac{y^2}{10}$$ Es equivalente a $y^2-10y+10\geq 0$. Las raíces del polinomio $y^2-10y+10$$\frac{10\pm\sqrt{60}}{2}=5\pm\sqrt{15}$, los cuales son ambos positivos.
Ahora vamos a utilizar esta con $y=f(t)$. Esto significa que $f(t)$ nunca se entre $5-\sqrt{15}$$5+\sqrt{15}$.
Pretendemos que $f(t)\leq 5+\sqrt{15}$ todos los $t$. De hecho, si este no era el caso, entonces no sería un poco de $t_0$ que $f(t_0)>5+\sqrt{15}$. Pero $f(0)=0$ y por el Teorema del Valor Intermedio, todos los valores entre a $0$ $f(t_0)$ son alcanzados por la $f$, en particular todos los valores estrictamente entre el$5-\sqrt{15}$$5+\sqrt{15}$, lo que se contradice con la anterior.
Por lo tanto, $f$ está delimitado en $I$$5+\sqrt{15}$. Usted puede utilizar el mismo argumento y demostrar que $f$ está delimitado por $5-\sqrt{15}$.
Si un número$x$ satisface$$x\leq1+\frac{x^2}{10},$ $, entonces$x^2-10x+10\geq0$. Ya que esta es una parábola, será positiva fuera del intervalo dado por sus raíces. Tenemos $$ x_1 = \ frac {10+ \ sqrt {100-40}} 2 = 5 + \ sqrt {15}, \ \ x_2 = 5- \ sqrt {15}. $$
Esto significa que si$5-\sqrt{15}<f(t)<5+\sqrt{15}$, entonces$f(t)>1+\frac1{10}\,f(t)^2$.
Como$f$ es continuo y$f(0)=0$, sus valores nunca pueden cruzar el intervalo$5-\sqrt{15},5+\sqrt{15}]$, entonces tenemos $$ f (t) \ leq 5- \ sqrt {15} $$ para todos $t$.
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