Tengo algunas grandes O () en una integral. ¿Cómo puedo calcular o estimar tal integral?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
rck
Puntos
121
La única cosa que uno puede hacer uso de la Landau símbolos, dado lo que usted indicó en la pregunta, es para ir a la definición.
$$ f(x) = O(g(x)) \iff \exists M,c ~\textrm{such that}~ \forall x > c\quad |f(x)| \leq M |g(x)| $$
Por lo tanto, si $a < c < b$:
$$ \left|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| \leq \int_a^b |f(x)|\mathrm{d}x \leq \int_a^c |f(x)|\mathrm{d}x + \int_c^b |g(x)|\mathrm{d}x $$
Un ejemplo de esto es que si
$$ f(x) = O(x^\alpha) $$
Entonces, si $\alpha < -1$, la mejor que se puede decir es que el$\int_0^x f(y)\mathrm{d}y$$O(1)$. Mientras que si $\alpha > -1$, se puede decir que el $\int_0^x f(y)\mathrm{d}y = O(x^{\alpha + 1})$ desde
$$ \int_0^c |f(y)| \mathrm{d}y = O(1) $$
y (para $\alpha \neq -1$)
$$ \int_c^x |f(y)|\mathrm{d}y \leq \int_c^x y^\alpha \mathrm{d}y = \frac{1}{\alpha +1} \left( x^{\alpha + 1} - c^{\alpha+1}\right) = O(x^{\alpha+1}) + O(1)$$
Una observación importante es que, mientras que para las integrales se pueden obtener estimaciones de la integral basado en el integrando, la misma no puede ser hecho por los derivados. La derivada de una función $f(x) = O(g(x))$ necesidad de no satisfacer $f'(x) = O(g'(x))$. Observar que si $f(x) = O(g(x))$$h(x) = \sin(x^n)f(x)$, $h(x) = O(g(x))$ también. Pero tenga en cuenta que $h'(x) = O(x^{n-1} g(x)) + O(f'(x))$, el primer término de que concebiblemente puede crecer mucho más rápido que $f'(x)$.
