Demostrar que la desigualdad $\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-d|}+\sqrt{|d-e|}+\sqrt{|e-a|}\le 3+\sqrt{2}$

Question

que $a,b,c,d,e\in [0,1]$, mostrar que $$\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-d|}+\sqrt{|d-e|}+\sqrt{|e-a|}\le 3+\sqrt{2}$ $

He intentado usar desigualdad de AM-GM, pero no obtener ningún resultado como sigue: $$(|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|)(1+1+1+1)\ge (\sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|}+\sqrt{|c-d|}+\sqrt{|d-e|}+\sqrt{|e-a|})^2$ $

Answer 1

Cinco es un número impar, por lo tanto las diferencias $$ b - a, c - b, d - c, e - d, a - e $$ (cuando se ve como una secuencia cíclica) no puede tener sólo la alternancia de signos. Debe haber dos sucesivas diferencias de las que tanto $\le 0$ o tanto en $\ge 0$. Por lo tanto, en $$ a, b, c, d, e $$ (también visto como una secuencia cíclica) no debe ser de tres sucesivas los números que están aumentando o disminuyendo.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $a \le b \le c$. Es fácil calcular que $$ f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{c, x} \, , \, \le x \le c $$ alcanza su máximo en el punto medio $(a+c)/2$ del intervalo y por lo tanto $$ \sqrt{|a-b|}+\sqrt{|b-c|} = \sqrt{b-a} + \sqrt{c, b} \le 2 \sqrt{\frac{b}{2}} \le \sqrt 2 \, . $$ Desde $$ \sqrt{|c-d|}+\sqrt{|d-e|}+\sqrt{|e-a|} \le 1 + 1 + 1 = 3$$ tiene trivialmente, la conclusión de la siguiente manera.

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La igualdad se mantiene para $$ (a, b, c, d, e) = (0, \frac 12, 1, 0, 1) \, $$ por lo que el obligado a $3 + \sqrt 2$ es fuerte.