¿Por qué no tanto verdadero como falso?

Question

¿Por qué un enunciado matemático (o cualquiera que sea el término correcto) no puede ser a la vez verdadero y falso?

Por ejemplo, podemos demostrar (por ejemplo, por inducción) que $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ para todos los enteros positivos $n$ . Pero, ¿cómo podemos estar seguros de que nadie encontrará un contraejemplo? ¿Y si alguien afirma que $1+2+3+\cdots+1000$ es igual a (por ejemplo) 500567 y no 500500, que es lo que afirma la fórmula anterior.

Otro ejemplo: ¿Por qué es imposible que a alguien se le ocurran tres enteros $a$ , $b$ y $c$ para lo cual $a^3+b^3=c^3$ (contradiciendo el último teorema de Fermat)? Esto me molesta incluso en el nivel intuitivo simple.

Luego he oído hablar de los teoremas de incompletitud de Gödel, el segundo de los cuales dice (al menos así lo he interpretado yo) que un sistema axiomático no puede demostrar su propia consistencia. Entonces, ¿el segundo teorema de incompletitud de Gödel no dice básicamente que "todo es posible"? ...que puede haber un número entero $n$ para lo cual $1+2+3+\cdots+n \neq \frac{n(n+1)}{2}$ o que puede haber enteros $a$ , $b$ y $c$ para lo cual $a^3+b^3=c^3$ ?

Answer 1

El teorema de Gödel podría interpretarse más exactamente como que nunca podemos estar seguros de la consistencia de un sistema suficientemente complejo. No podemos estar seguro por ejemplo, que los axiomas de Peano no demuestran $1+1=3$ . Esperamos que no sea así, pero ninguna prueba nos convencería de lo contrario (y probablemente no lo sea, ya que los Axiomas de Peano tienen un modelo intuitivo como son los números naturales con la suma y la multiplicación).

Sin embargo, sigue siendo cierto que $1+1=2$ aunque los Axiomas de Peano digan lo contrario (de hecho, si demostraran $1+1=3$ También tendrían que demostrar $1+1\neq 3$ y también cada otros declaración que podría hacer dentro de ese sistema). De hecho, podemos decir que, si un sistema (convenientemente complejo) es inconsistente, entonces admite tanto una prueba como una refutación de cada afirmación -este es el principio de explosión-.

La diferencia es que existe un modelo previsto de los Axiomas de Peano: los números naturales con adición y multiplicación. Esto está claramente bien definido y ciertas cosas son innegablemente ciertas de ellos. Por lo tanto, esperaríamos que los Axiomas de Peano sean, de hecho, consistentes (aunque no podemos demostrarlo) - y, si es consistente, todo lo que demuestra es cierto y de forma innegable. Incluso si la AP fuera inconsistente, seguiríamos esperando pruebas como la $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$ que funcionen, ya que aprovechan propiedades tan sencillas de la estructura de los números naturales.

La cuestión es que la "verdad" y la "prueba" son afirmaciones distintas, pero tendemos a identificarlas porque suponemos que nuestros sistemas lógicos son consistentes, o al menos suponemos que los fragmentos que utilizamos son consistentes.

Answer 2

Tengo dos respuestas para ti.

Ya se ha dicho uno, así que sólo lo diré brevemente: si demostramos exhaustivamente que algo es cierto, no puede haber ningún contraejemplo, es decir, en el caso de un argumento de inducción como el que has proporcionado.

En segundo lugar, le responderé también con Godel. Se le conoce principalmente por sus Teoremas de Incompletitud (porque son mucho más interesantes), pero su primer trabajo famoso fue por demostrar su Teorema de Completitud. Esto nos dice muchas cosas, entre ellas que un sistema consistente y sólido no tendrá los contraejemplos que sugieres que pueden existir (citando a Wikipedia, una formulación más general sería "Dice que para cualquier teoría de primer orden T con un lenguaje bien ordenable, y cualquier sentencia S en el lenguaje de la teoría, hay una prueba formal de S en T si y sólo si S es satisfecha por cada modelo de T (S es una consecuencia semántica de T)").

Además, usted no entiende sus teoremas de Incompletitud. No dice que ninguna teoría sea consistente, simplemente dice que ninguna teoría consistente puede demostrar su propia consistencia. De hecho, Godel demostró la consistencia de la aritmética de Peano utilizando la teoría de tipos, que no podía demostrar su propia consistencia.

Sin embargo, (dependiendo de tu nivel) todos los teoremas que encuentres pueden ser asegurado ser verdadera si se demuestra porque ZFC (el fundamento más común de las matemáticas) tuvo su consistencia demostrada sólo asumiendo la existencia de un Cardenal Débilmente Inaccesible. Creo que esto es ampliamente aceptado, así que si puedes aceptar la existencia de eso, estás a salvo.

EDITAR: Se me ha hecho saber en los comentarios que hacer de la existencia de un Cardenal Débilmente Inaccesible un axioma crea una teoría mucho más fuerte que la necesaria para demostrar la consistencia de ZFC. En cualquier caso, la cuestión sigue siendo que cualquier sistema matemático con el que se trabaje ha demostrado probablemente su consistencia asumiendo algo sólo ligeramente más fuerte - por lo que valga.

También se me ocurre que la lógica de primer orden incluye la Ley de la No Contradicción (también conocida como la Ley del Medio Excluido) como un axioma, donde también se sabe que esto es consistente por el teorema de Completitud de Godel. Entonces, con esto tu pregunta más general de "¿Por qué no tanto verdadero como falso?" queda respondida porque lo tomamos como axioma y mostramos que incluir tal axioma es consistente.

Answer 3

Por ejemplo, podemos demostrar (por ejemplo, por inducción) que $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$ para todos los enteros positivos $n$ . Pero ¿cómo podemos estar seguros de que nadie encontrará un contraejemplo?

La respuesta a "¿cómo podemos estar seguros de que nadie encontrará nunca un contraejemplo?" es que podemos demostrar (por ejemplo, por inducción) que $1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ para todos los enteros positivos $n$ .

P.D. Los "contraejemplos" cuya existencia sugiere el teorema de incompletitud de Gödel no son en realidad números de la secuencia $1,2,3,\ldots$ que se puede alcanzar después de un número finito de pasos, como el número $1000$ . Más bien son miembros de sistemas de "números" que satisfacen todos los axiomas dentro de algún sistema que admite la comprobación algorítmica.

Answer 4

La verdad es algo específico de una estructura particular, o de un modelo particular de una teoría. A veces, cuando una teoría tiene un modelo canónico, abusamos de la terminología y cuando decimos "verdadero" lo que queremos decir es "verdadero en el modelo canónico". Este es el caso de los números naturales y de los números reales.

Ahora bien, la definición de verdad en una estructura, tal como la da Tarski, es tal que $\varphi$ es verdadera si y sólo si $\lnot\varphi$ es falso. Además, si $T$ es verdadera en una estructura $M$ , entonces todo lo demostrable de $T$ es verdadera en esa estructura. Y finalmente, el teorema de completitud de Godel nos dice que efectivamente si $\varphi$ es cierto en cada estructura que $T$ es verdadera, entonces $\varphi$ es demostrable a partir de $T$ .

Entonces, ¿por qué no puede haber un teorema que sea a la vez verdadero y falso? Porque mientras creamos que la lógica de primer orden es consistente, los teoremas o son verdaderos o son falsos, pero no ambos.

Answer 5

En la lógica consistente, una sola contradicción irreparable arruinaría todas las pruebas cuidadosamente detalladas de los teoremas matemáticos, ya que cualquier teorema sería trivialmente demostrable. En lógica paraconsistente hay un control de daños.

Las matemáticas no pretenden ser la verdad absoluta, sino que se basan en premisas absolutas y, por lo tanto, lo más probable es que las contradicciones puedan repararse modificando los axiomas. Pero hasta que se encuentre una contradicción, todas las observaciones favorecen las teorías actuales.