Centro del grupo de unidades$R^\times$ de un anillo.

Question

Deje $R$ a (unital, no conmutativa) del anillo.

Si $R^\times$ es el grupo de la unidad de $R$ (el conjunto de elementos con dos caras inversa), es claro que $R^\times \cap Z(R) \subset Z(R^\times)$ donde $Z$ medio centro (en el lado izquierdo, $Z(R)$ es el centro del ring $R$, en los HR, $Z(R^\times)$ es el centro del grupo $R^\times$) : si un elemento invertible desplazamientos con todo el mundo, se conmuta con cada elemento invertible.

No veo ninguna razón por la inversa de la inclusión debe ser cierto, pero soy incapaz de encontrar un ejemplo. Así que aquí está la pregunta:

Hay un anillo de $R$ tal que $R^\times \cap Z(R) \varsubsetneq Z(R^\times)$ ?

Answer 1

OK, espero que no fuera de línea, pero le hice esta pregunta a un colega mío, y ella me dio una respuesta que vale la pena publicar aquí.

Considerar el trenzado polinomio anillo de $\mathbb C\langle X \rangle$, que es el anillo de formal finito de combinaciones $$ \sum_{i=0}^n a_i X^i, \qquad (a_i)_{i=0}^n \in \mathbb C^{n+1}$$ con la multiplicación $$\left( \sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^{m} b_j X^j \right) = \sum_{k=0}^{n+m} \left( \sum_{i+j=k} a_i \sigma^i(b_j) \right) X^k,$$ (donde $\sigma^i$ es el complejo de la conjugación de la si $i$ es impar, y la identidad si $i$ es incluso).

(El ejemplo de (1.7) en Lam Primer Curso en no conmutativa de los Anillos)

Uno, a continuación, comprueba fácilmente que :

• El centro de $\mathbb C\langle X \rangle$ el (clásico) real polinomio anillo de $\mathbb R[X]$;

• El grupo de la unidad de $\mathbb C\langle X \rangle$ es simplemente $\mathbb C^\times$.

En breve, $$ Z(\mathbb C\langle X \rangle) \cap \mathbb C\langle X \rangle^\times = \mathbb R[X] \cap \mathbb C^\times = \mathbb R^\times \varsubsetneq Z(\mathbb C\langle X \rangle^\times) = Z(\mathbb C^\times) = \mathbb C^\times.$$

Un seguimiento de Alex comentario: me parece que algo similar podría decirse de el anillo de grupo $\mathbb C[D_{\infty}]$ de la infinita diedro grupo, bits no he sido capaz de que sea preciso (para ser honesto, no tengo idea de lo que el grupo de la unidad es en ese caso-pero es sin duda más grande que $\mathbb C^\times$).