Urna con número creciente de bolas distintas.

Question

Supongamos que tenemos una urna en la que, inicialmente, sólo tiene uno llamado interior de la bola. En cada paso de tiempo, lanzamos una moneda sesgada con una probabilidad de $p$ $(\in(0,1))$ de aterrizaje en la cabeza y la probabilidad de $1-p$ de aterrizaje en las colas. Si tenemos jefes, se añade un nuevo balón en la urna que tiene una distinta de la etiqueta de todas las otras bolas. Si conseguimos colas, sacamos una bola al azar de la urna, tenga en cuenta su etiqueta, a continuación, poner de nuevo. Lo que me gustaría saber es si o no, w.p. 1, habrá un balón que se dibujará infinitamente a menudo a partir de la urna como nos indefinidamente continuar con este experimento.

Mi corazonada me dice que tal la pelota no existe una.s., pero me parece que no puede demostrarlo. He intentado utilizar Borel-Cantelli en la secuencia de los eventos en los que la inicial de la bola es dibujado en el tiempo $n$. Sin embargo, me pareció que la suma de las probabilidades de los eventos a ser infinito, por lo Borel-Cantelli no puede ayudar a nosotros (los eventos no son independientes ni monótona creciente).

Si usted tiene cualquier ayuda que me ofrecen para este problema, yo te aprecio mucho.

Answer 1

El número de bolas en la urna después de $n$ tiros es menor o igual a $n + 1$

El evento de elección de la pelota de $1$ (la primera bola de la urna) en la ronda $n$ ($A_n$) (después de $n-1$ tiros) y está dada por

$$\chi_{\text{tails}} \frac{1}{\#\{\text{balls in the urn at round } n\}} $$

$$P(A_n) \geq \frac{1 - p}{n}$$

si $1 - p>0$ $\sum_n P(A_n) = \infty$ y por lo tanto, el caso de recoger el balón $1$ se produce infinitamente a menudo (por borel cantelli). Así que tienes razón, casi seguramente el balón $1$ será dibujado infinitamente a menudo.

Si $1 - p = 0$ el no escoger el balón en todo.

Nota: la salida para Borel-Cantelli lema https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma#Converse_result

Answer 2

Una solución similar a la de Conrado. Reemplace el proceso por uno en el que una pelota es añadido después de cada tirón de la moneda, independientemente del resultado. Es evidente que esto no aumenta la probabilidad de sacar la primera bola en cualquier punto. Ahora las probabilidades de que el dibujo de la primera bola son todos independientes, y son exactamente dada por el obligado que Conrado le dio para el original de probabilidades. Por lo tanto, por la segunda Borel-Cantelli lema, el evento de la elección de la primera bola casi seguramente se produce infinitamente a menudo.