$(1)$ Sí, como mixedmath señala, uno "probado y verdadero" método para la escritura de un producto de distinto ciclo como un producto de transposiciones es la estrategia que emplean:
Para un ciclo:
$$(a_1\,a_2\,a_3\,\cdots\,a_{n-1}\,a_n) = (a_1\,a_n)(a_1\,a_{n-1})\cdots\,(a_1\,a_3)(a_1\,a_2)$$
Para más ciclos, digamos por ejemplo, una de tres ciclos, que acaba de concatenar cada ciclo del producto de transposiciones:
$$(abcd)(efgh)(ijkl) = \underbrace{(ad)(ac)(ab)}_{\large (abcd)}\,\underbrace{(eh)(eg)(ef)}_{\large (efgh)}\,\underbrace{(il)(ik)(ij)}_{\large(ijkl)}$$
Pero otro tonto método a prueba a los ciclos de escritura como de los productos de transposiciones es como sigue:
$$(a_1\,a_2\,a_3\,\cdots\,a_{n-1}\,a_n) = (a_1\,a_2)(a_2\,a_3)\,(a_3\,a_4)\cdots(a_{n-2}\,a_{n-1})(a_{n-1}\,a_n)$$
Y de nuevo, para ciclos más, digamos por ejemplo, una de tres ciclos, que acaba de concatenar cada ciclo del producto de transposiciones:
$$(abcd)(efgh)(ijkl) = \underbrace{(ab)(bc)(cd)}_{\large (abcd)}\,\underbrace{(ef)(fg)(gh)}_{\large (efgh)}\,\underbrace{(ij)(jk)(kl)}_{\large(ijkl)}$$
Lo que esto demuestra es que hay no hay una única manera de escribir una permutación como producto de transposiciones. Lo que es cierto es que no importa el método que utilice, si se trata de un método correcto, devolverán los originales de ciclo(s), cuando los relatos se "multiplican".
Y para cada permutación, cualquiera que sea la forma elegida para expresarlo como el producto de transposiciones, el número de transposiciones en el producto SIEMPRE va a ser , incluso, o sea SIEMPRE impar, para cualquier permutación.
