Deje que$X$ sea$\mathbb{C}$ con la siguiente topología: un subconjunto$F$ de$X$ está cerrado$\iff$$F$ es el conjunto de cero (s) de un polinomio. ¿Conectado?

Question

Deje $X$ ser $\mathbb{C}$ con la siguiente topología: Un subconjunto $F$ de $X$ se cierra $\iff$ $F$ es el conjunto de cero(s) de un polinomio.

Es $X$ Compacto? Conectado?

$X$ es realmente Compacto. Si $\{U_\alpha\}$ es una cubierta abierta de a$X$, entonces el complemento de cada uno es finito. Por lo tanto podemos tomar uno para cubrir todos pero con un número finito de puntos de $X$, y, a continuación, elija un número finito de elementos de la cubierta para alcanzar un número finito de la cubierta.

En cuanto a lo de estar conectado... Un espacio de $X$ está conectado a$\iff$ no es continua en el mapa $f: X \rightarrow \{0,1\}$ donde $\{0,1\}$ tiene la topología discreta.

Creo que no existe un mapa continuo... Para tener la inversa de la imagen de ambos $0$ e $1$ ser abierto significaría que ambos de sus preimages han finito complementa, que no es posible. $\therefore X$ está conectado.

Answer 1

He aquí otra prueba.

Deje $U_1$ e $U_2$ ser cualquiera de los dos (no vacío) abrir establece en esta topología, con complementos $F_1$ e $F_2$. Desde

$$U_1 \cap U_2= \mathbb{C} \setminus (F_1 \cup F_2)$$

y debido a que $F_1$ e $F_2$ son finitos, esta intersección no puede estar vacío. Por lo tanto, no hay dos bloques abiertos puede ser discontinuo. Esto demuestra que la topología de los conectados y los no-Hausdorff.

Answer 2

Supongamos que $X$ es la unión de la no vacío discontinuo abrir subconjuntos $U$ e $V$, el complementario de a$U$ es $V$, que también está cerrado, por lo $V$ es finito, de manera similar $U$ es cerrado, ya que es el complemento de un subconjunto de a$V$ así es finito contradicción ya que el $\mathbb{C}$ no es finito.