Pregunta sobre Etale Sheaves

Question

Vamos a considerar el punto de campo esquema de $Spec(K)$ y denotan por $G:=\text{Gal}(\overline{K}/K)$ el correspondiente grupo de Galois.

Consideramos por $\mathbf{Sh}\big(\text{Spec }k)_{\text{et}}$ la categoría de etale poleas en $Spec(k)$. Entonces hay una wll conocido teorema de que existe una equivalencia cetegory

$$ \mathbf{Peces}\big(\text{Spec }K)_{\text{et}} \cong\{\text{discretos grupo abelian continua }G_K\text {acción}\} $$

dada explícitamente por

$$\mathcal F \mapsto \varinjlim_{K'/K\text{ finito separables extensión}} \mathcal F(\text{Spec }K') $$

con inversa $$\big(\text{Spec }k'\mapsto M^{\text{Ga}(\overline K/K')}\big) \leftarrow M $$

Mi pregunta es cómo $G_K$ actos explícitamente en $\varinjlim_{K'/K\text{ finito separables extensión}} \mathcal F(\text{Spec }K')$?

Entonces, en otras palabras, si tomamos un separables de extensión de campo $K \subset K'$ qué $G_K$ con $\mathcal F(\text{Spec }K')$?

Answer 1

Dado $\sigma \in Gal(K^s/K)$, vamos a $\sigma_{K'} \in Gal(K'/K)$ ser la restricción de las $\sigma$ a $K'$. El mapa de $\sigma_{K'}:K' \to K'$ da lugar a $F(\sigma_{K'}):F(K') \to F(K')$ (por la definición de un presheaf como un functor covariante en la categoría de $K$-álgebras) y así, por $a_{K'} \in F(K')$, definir $$\sigma_{K'} \cdot a_{K'} = F(\sigma)(a_{K'}) \in F(K')$$

Tenemos que comprobar esto da lugar a una bien definida de acción de $G_K$ a $\mathrm{colim}_{K'} F(K')$. Si $K \subset K' \subset K''$, tenemos mapa de $F(K') \to F(K'')$ y se aplican $F$ a la conmutativo el diagrama

\begin{array}{ccc} K' & \to & K'' \\ \downarrow \sigma_{K'}& & \downarrow \sigma_{K''}\\ K & \to & K'' \end{array}