¿Es todo solvmanifold compacto el cociente de un grupo de Lie soluble simplemente conectado por un subgrupo discreto?

Question

Recordemos que un colector se denomina nilmanifold si es un espacio homogéneo para un grupo Lie nilpotente conexo. Mal'cev demostró que todo nilmanifold compacto es difeomorfo al cociente de un grupo de Lie nilpotente simplemente conectado por un subgrupo discreto que actúa cocompactamente.

Un colector se denomina solvmanifold si es un espacio homogéneo para un grupo de Lie conexo soluble. Todo grupo nilpotente es soluble, por lo que todo nilmanifold es un solvmanifold. ¿Existe un análogo del resultado de Mal'cev para los solvmanifolds? Es decir,

¿Es todo solvmanifold compacto difeomorfo al cociente de un grupo de Lie soluble simplemente conectado por un subgrupo discreto que actúa cocompactamente?

Answer 1

Resulta que el teorema de Malcev es falso para los solv-manifolds. Un ejemplo es la botella de Klein $K^2$ :

1. El hecho de que $K^2$ no es difeomorfo al cociente de cualquier grupo soluble por un subgrupo discreto se deduce de la clasificación de los grupos de Lie bidimensionales simplemente conectados (necesariamente solubles): Se trata del grupo abeliano ${\mathbb R}^2$ y el grupo $Aff_+({\mathbb R})$ de automorfismos afines (que preservan la orientación) de la recta real (esto se ha discutido muchas veces, por ejemplo, aquí ). El primer grupo no contiene subgrupos isomorfos a $\pi_1(K^2)$ (ya que esta última no es conmutativa). El segundo grupo no contiene subgrupos discretos no cíclicos.

2. Se puede representar $K^2$ como cociente del grupo soluble $SE(2)$ grupo de isometrías del plano euclidiano que conservan la orientación $R^2$ . Consideremos el subgrupo cerrado $H< SE(2)$ consistente en movimientos que conservan las líneas (verticales) de la forma $x=n$ , $n\in {\mathbb Z}$ . (Estoy utilizando las coordenadas cartesianas estándar.) Los elementos de $H$ puede trasladar estas líneas horizontalmente (por un número entero), verticalmente y también rotarlas 180 grados. Es evidente que $SE(2)/H$ es una superficie compacta $S$ fibrado sobre el círculo (la fibración proviene del homomorfismo $SE(2)\to SO(2)$ ). Para demostrar que $S$ es la botella de Klein sólo tenemos que demostrar que es no orientable. Sea $V< H$ denota el subgrupo (normal) formado por las traslaciones verticales. El cociente $SE(2)/V$ es homeomorfo al cilindro $A$ . La rotación de orden dos $\tau\in H$ fijar el origen invertirá la orientación en $A$ (ya que invierte la orientación en las líneas horizontales del plano). Así, $S$ no es orientable y, por tanto, es homeomorfa a la botella de Klein.