¿Cómo se extienden las consecuencias de la paradoja de Russell más allá del principio de comprensión universal hasta el problema del conjunto de todos los conjuntos?

Question

Creo que entiendo la forma en que la paradoja de Russell muestra que el siguiente principio es erróneo:

"para cada predicado, hay un conjunto que tiene como elementos todos los objetos que satisfacen este predicado"

Russell's recoge un predicado ( a saber, el predicado " x no es un elemento de sí mismo" ) y muestra que el correspondiente "conjunto" tendría propiedades contradictorias, lo que significa que "el conjunto de todo x tal que x no es un elemento de x" no existe.

Esto cuenta como un contra-ejemplo al "principio" aludido.

Mi comprensión de la paradoja de Russell no va más allá de esto.

Ahora, si estoy en lo cierto, a menudo se dice que Russell demostró, con esta paradoja, que el "conjunto de todos los conjuntos" no existe.

¿Cuál es en realidad la relación entre la paradoja de Russell y la inexistencia del conjunto de todos los conjuntos?

Me parece difícil responder que la relación consiste en que precisamente un conjunto tiene la propiedad de no pertenecer a sí mismo. Porque me parece que la paradoja de Russell prohíbe definir un conjunto de esta manera.

Answer 1

La paradoja de Russell no impide por sí misma que exista un conjunto de todos los conjuntos. Hay teorías de conjuntos que contienen un conjunto universal y no se sabe si son inconsistentes, como la NF de Quine.

Es sólo junto con el axioma de selección de subconjuntos de Zermelo (la idea central detrás del ZFC, que afirma que $\{x\in A\mid \varphi(x)\}$ es un conjunto siempre que $A$ es), que tiene este efecto. Si existiera un conjunto universal, entonces el axioma de selección de subconjuntos proporcionaría efectivamente un principio de comprensión universal, y entonces La paradoja de Russell produciría una contradicción.

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a menudo se dice que Russell demostró, con esta paradoja, que el "conjunto de todos los conjuntos" no existe.

Aunque probablemente no sea difícil encontrar una afirmación como esta en la prensa, es una simplificación ahistórica excesiva. Russell publicó la paradoja varios años antes de que Zermelo propusiera su sistema de axiomas, por lo que los ingredientes para dar el salto de "la comprensión del conjunto sin restricciones no funciona" a la afirmación específica de "no hay un conjunto universal" no estaban presentes en ese momento.

Answer 2

La cosa es que el principio es erróneo, pero nos gustaría que fuera cierto: si quieres ser capaz de considerar el conjunto de cosas que satisfacen una cierta propiedad, es una de las bases para construir nuevos conjuntos.

Para hacerlo posible sin introducir (o eso esperamos) contradicciones, los axiomas ZF tienen el llamado esquema de comprensión, que dice que si tienes una fórmula $\varphi (x)$ y un conjunto $A$ entonces puedes considerar el conjunto de todos los conjuntos satisfactorios $\varphi$ que también están en $A$ que normalmente se denota $\{x\in A\mid \varphi(x)\}$

Ahora si $A$ es un conjunto que contiene todos los conjuntos, entonces $\{x\in A\mid \varphi(x)\}$ es precisamente el conjunto de todos los conjuntos que satisfacen $\varphi$ y así tener un conjunto de todos los conjuntos implicaría tener el principio ingenuo que sabemos que es contradictorio: por lo tanto no hay un conjunto que contenga todos los conjuntos.

Así es como la paradoja de Russell se relaciona con la existencia de un conjunto de todos los conjuntos; aunque a primera vista sólo implica que no hay un conjunto de todos $x$ de tal manera que $x\notin x$ (que es un hecho mucho más general y está muy poco relacionado con la teoría de conjuntos, como señala Maura Allegranza en los comentarios)

Answer 3

La paradoja de Russell surgió de una inconsistencia en el primer intento de Frege de axiomatizar la teoría de conjuntos de Cantor. Como usted señala, usando su axioma de comprensión sin restricciones, fue posible probar:

$$\exists r: \forall x: [x\in r \iff x\notin x]$$

Sin embargo, usando sólo las reglas de la lógica en el sistema de Frege, también fue posible probar la negación:

$$\neg\exists r: \forall x: [x\in r \iff x\notin x]$$

Mantuvimos sus reglas de lógica, pero nos deshicimos de la comprensión irrestricta y aún podemos probar esto último.

No era necesario prohibir la auto-membresía del grupo para resolver la paradoja. Puedes sustituir cualquier relación binaria E para obtener:

$$\neg\exists r: \forall x: [E(x,r) \iff \neg E(x,x)$$