Descomposición QR con matriz triangular inferior utilizando la reflexión de Householder

Question

Problema

Encuentre las matrices de los propietarios de viviendas $H_1,H_2,\cdots,H_n$ tal que

$$ H_n\cdots H_1 A = L $$

donde $A$ : $n \times n$ matriz y $L$ : $n \times n$ matriz triangular inferior .

---

Prueba con

Al definir $v_k:= [\cdots, sgn(x_k) |x_k|, \cdots]$ y $H_k := I - 2v_kv_k^T/v_k^Tv_k$ podemos hacer

$$ H_n\cdots H_1 A = U $$

donde $U$ : $n \times n$ matriz triangular superior

Pero actualmente estoy atascado en cómo definir $v_k$ para hacer el triángulo inferior del RHS.

Answer 1

Empiece por la última columna, entonces se encuentra casi en la misma configuración que para el $QR$ con la parte superior $R$ : se comienza con la columna que se transformará en una columna con sólo ceros excepto un coeficiente (pero será $\lambda e_n$ en lugar de $\lambda e_1$ ), y continuar como de costumbre.

Alternativamente, puede hacerlo con el mismo algoritmo de siempre ( $QR$ con la parte superior $R$ ), invirtiendo primero el orden de las columnas y filas de $A$ y hacer lo mismo después en $Q$ y $R$ . Puedes aplicar esto a todas las reflexiones de Householder, y puedes comprobar que una reflexión "invertida" $H_k$ sigue siendo un reflejo de Householder con la inversión $v_k$ .

Tenga en cuenta que si $f$ es la función que invierte el orden de las filas y las columnas, entonces $f(AB)=f(A)f(B)$ . No sé si tiene una notación específica.