¿Por qué se utiliza el recíproco en la división de fracciones?

Question

No sé si esta es una pregunta básica o lo que sea, pero no logro encontrar una respuesta.

Hasta donde entiendo, el recíproco de un número es el inverso de ese número, pero aún así no aclara por qué es necesario.

Durante muchos años solo hice matemáticas como si fuera un robot. Simplemente lo hacía y nunca entendía lo que estaba haciendo. Así que cuando dividía fracciones solo usaba el recíproco, porque "así era como se hacía". Quiero entender las matemáticas a un nivel más profundo, especialmente temas como probabilidad, estadísticas, cálculo y álgebra lineal. Para lograrlo, debo entender los fundamentos, sin embargo.

Se agradece cualquier respuesta.

Answer 1

Creo que estás preguntando por qué la regla para la división de fracciones, $$\frac{p}{q} \div \frac{r}{s} = \frac{p}{q} \cdot \frac{s}{r},$$ funciona. Y asumo que ya estás cómodo con cómo multiplicar fracciones.

Necesitamos retroceder a lo que se supone que debía lograr la división en primer lugar. Cuando lo analizamos, la respuesta es que $A\div B$ significa algo que da $A$ cuando lo multiplicamos por $B$ - o, escrito en símbolos, $A\div B$ significa el $X$ que resuelve la ecuación $$ X\cdot B = A $$

Cuando nuestro $A$ y $B$ son fracciones, la regla de división "recíproca" puede considerarse como un truco que afortunadamente produce un $X$ que funciona. Es bastante fácil ver que sí funciona: Si estamos dividiendo $\frac pq \div \frac rs$ necesitamos resolver la ecuación $$ X \cdot \frac rs = \frac pq $$ Y realmente, al establecer $X=\frac pq\cdot \frac sr = \frac{ps}{qr}$ esto funciona: $$ \frac{ps}{qr}\cdot\frac rs = \frac{ps\cdot r}{qr\cdot s} = \frac{p\cdot sr}{q\cdot sr} = \frac pq$$ como queremos. (También asumo que te sientes cómodo cancelando el factor común $sr$ en la fracción intermedia).

Esta operación espero que también dé alguna idea por qué funciona, al menos en parte. En $\frac{ps}{qr}$ el $p$ y el $q$ son lo que queremos obtener, y el $s$ y el $r$ están ahí para "neutralizar" el $r$ y el $s$ que tenemos pero queremos desechar. Al asegurarse de que el producto tenga exactamente un $r$ y un $s$ a cada lado de la barra de fracción, se aseguran de que podemos cancelarlos.

Escribir la solución $\frac{ps}{qr}$ como $\frac pq\cdot \frac{\vphantom{p}s}{r}$ puede ser mejor entendido como una manera fácil de recordar qué va dónde. Pero este truco de memoria en sí mismo también sirve como motivación para considerar la operación recíproca como interesante por derecho propio en álgebra superior.

Answer 2

Ya hay algunas respuestas algebraicas excelentes a esta pregunta, pero me gustaría proporcionar una respuesta basada en el significado de la división en la escuela primaria.

Cuando dividimos 20 entre 4, estamos haciendo la pregunta "Dado que 20 elementos se distribuyen equitativamente en 4 montones, ¿cuántos elementos hay en cada montón?"

Cuando dividimos 8 entre un tercio, estamos haciendo la pregunta "Dado que 8 elementos se distribuyen equitativamente en un tercio de un montón, ¿cuántos elementos hay en cada montón completo?"

Porque cada tercio de un montón tiene 8, y queremos saber cuánto tiene un montón completo (3 veces más grande), podemos usar la multiplicación para calcular la respuesta como 24. El uso de la multiplicación del inverso es solo un atajo práctico, y no debe considerarse como división en sí misma.

Answer 3

Su pregunta no está completamente clara pero lo que entendí es que no entiende por qué $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \frac{a}{b}*\frac{d}{c}$$ la respuesta está en los axiomas de los números reales, un número $b$ es el recíproco de un número $d$ si $$ d*b=1$$ ahora, veamos la definición de fracción $$e/f=e*f^{-1}$$ con $f^{-1}$ el recíproco de $f$, por lo tanto $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}}({\frac{c}{d}})^{-1}$$ y como $$\frac{c}{d}*{\frac{d}{c}}=1$$ tenemos $$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}= \frac{a}{b}*\frac{d}{c}$$ nuestro resultado