¿Representación matricial de la transformación lineal fraccionada y la matriz de identidad?

Question

Para $x \in \mathbb {R}$ definen la transformación lineal fraccional de $x$ como $f(x)$ donde:

$$f(x) = \frac {ax + b}{cx+d}$$

Luego $f(x)$ tiene una representación matricial en $ \mathbb {R}^2$ de $F$ donde:

$$F = \begin {pmatrix} a & b \\ c & d \end {pmatrix}$$

Entonces la función $g(x)= \dfrac {1}{1-x}$ tiene la representación de la matriz:

$$G = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}$$

Obsérvese que $g(g(g(x)))=x$ . Entonces, ¿por qué no está $G^3=I$ ? De hecho:

$$G^3 = \begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {pmatrix} = -I$$

¿Cómo es que eso tiene sentido cuando $g^3(x)=x$ y no $-x$ ? ¿No debería el vector

$$ v= \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix}$$ se traza de nuevo a sí mismo después de 3 iteraciones de multiplicar por $G$ ? ¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Sugerencia :

Para qué matrices $M = \pmatrix{a & b\\ c & d}$ es $f_M(x) = \frac{ax + b}{cx+d}$ ¿la función de identidad? Se sabe que lo es cuando $M = I$ pero, ¿es esa la sólo ¿Matriz? No. Por ejemplo, $M = 2I$ también produce una función $f_{2I}$ es la función de identificación. El mapeo $M \mapsto f_M$ de matrices a transformaciones lineales fraccionarias no es inyectiva.