¿Es posible calcular dígitos consecutivos de$\pi^{1/\pi}$

Question

Esta pregunta está inspirada en un desafío en codegolf.stackexchange.com, donde la tarea es:

Salida de dígitos consecutivos de $x = \pi^{1/\pi}$ siempre.

Es decir, calcular los dígitos de $x$, y la salida de uno en uno para siempre (en teoría). Como esta debe ir para siempre, usted debe calcular continuamente nuevos dígitos de $\pi$ e $x$. Hay formas conocidas para calcular los dígitos individuales de $\pi$, pero como lo que yo puedo decir, dígitos $n$ de $\pi^{1/\pi}$ puede depender de dígitos $n+m$ de $\pi$.

En algún punto, te vas a encontrar algo parecido a $...31999999999999999...$ si se calcula $x$ con una exactitud dada por $pi$. Sin embargo, si usted tuvo una mayor precisión, esto podría resultar en $...3200000000000...$ lugar.

Estoy bastante seguro de que puede ser probada/muestra el dígito $n$ puede depender de dígitos $n+m$ de $\pi$ para algunos $n$ e $m$ (pero yo no). Lo que no estoy seguro de que es, ¿una cota superior de a$m$ ser probada? Es posible afirmar, con absoluta certeza, que el $n$^th dígitos de $x$ es correcto si hemos calculado, por ejemplo $n+10$ dígitos de $\pi$?

Answer 1

Si usted viene a través de $\ldots3199999999\ldots$, a continuación, sólo tienes que seguir adelante hasta que el problema se resuelve como $x\le\ldots3199999999$ o $x\ge\ldots32$. Si $x$ es conocido por ser irracional, entonces usted puede estar seguro de que este procedimiento eventualmente terminar.

Puede ser difícil predecir de antemano la cantidad de look-ahead que usted necesita. En la práctica, sin embargo, a menos $x$ ha sido especialmente elegido para ser torpe, usted sólo tendrá que calcular un poco más decimales.

Pero si $x$ no se sabe que es irracional, entonces usted tiene un verdadero problema en sus manos. Estoy bastante seguro de que $\pi^{1/\pi}$ es irracional, pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 2

La respuesta no es diferente para $\pi$ o $\pi^{1/\pi}$ (nada mandatos para calcular $\pi^{1/\pi}$ en términos de evaluaciones parciales de $\pi$).

Esta situación se produce cuando hay varios nueves o ceros, pero no en otros lugares. Hay, de hecho, tales repeticiones, con el aumento de la longitud que usted vaya más lejos y más lejos en los decimales. Estos son hechos aislados que de ninguna manera poner en peligro el cálculo de decimales exactos.

Para otros dígitos, límites de error puede ser calculado que permiten validar ellos absolutamente.