Te agradecería un segundo par de ojos en una prueba. Quiero demostrar que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ puede tener en la mayoría de countably muchos estricto de los máximos locales. La pregunta se ha hecho en otros lugares de Intercambio de la Pila, pero mi pregunta es acerca de la validez del siguiente argumento, que no se discuten.
Supongamos por contradicción que $f$ tiene una cantidad no numerable de estricta los máximos locales. Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$, definir $$E_n=\Big\{x\in \mathbb{R}: f(x)>f(y) \hspace{2mm}\text{for all $s$ such that $0<|x-y|<\frac{1}{n}$} \Big\}.$$ For example, if $x\in E_3$, then $x$ provides a strict local maximum on at least an open interval of radius $\frac{1}{3}$. If each $E_n$ was at most countable, then $\bigcup^{\infty}_{n=1}E_n$ would be countable as well, contrary to assumption. Hence, some set, say $E_{n_0}$, is uncountable. Being uncountable, the set $E_{n_0}$ has a limit point, $\xi$.
Pero ahora esto le da una contradicción. Deje $\{x_k\}_{k=1}^{\infty}$ ser una secuencia en $E_{n_0}$ convergentes a $\xi$. Deje $x_i$ e $x_j$ ser términos satisfactorios $|x_i-\xi|<\frac{1}{2n_0}$ e $|x_j-\xi|<\frac{1}{2n_0}$. A continuación, $|x_i-x_j|<\frac{1}{n_0}$ por la desigualdad de triángulo. Desde $f(x_i)$ es un máximo local estricto en un intervalo alrededor de a$x_i$ radio $\frac{1}{n_0}$, tenemos $f(x_i)>f(x_j)$. Pero por la misma razón debemos tener $f(x_j)>f(x_i)$, lo cual es una contradicción.
Gracias de antemano por sus comentarios.
