Hola, ¡gracias por leer! Realmente necesito ayuda con esta pregunta. A continuación publicaré todos mis progresos; me he esforzado mucho por ser lo más minucioso posible, pero si no cumplo con las directrices sobre cómo debe plantearse una pregunta de tarea, por favor, dímelo y editaré mi pregunta.
Los avances hasta ahora:
Esto es lo que estoy pensando.
Dejemos que $P(A)$ sea la probabilidad de que el profesor imparta la clase.
Dejemos que $P(B)$ sea la probabilidad de que haga mal tiempo
Dejemos que $P(S)$ es la probabilidad de que un alumno se presente, para cualquier alumno.
Dejemos que $P(G)=P(B^C)=(1-P(B))$ es la probabilidad de que el tiempo sea bueno. Que el tiempo sea bueno es el complemento de que el tiempo sea malo.
Dejemos que $p_b$ sea la probabilidad de que el estudiante se presente dado que el tiempo es malo.
Dejemos que $p_g$ sea la probabilidad de que el estudiante se presente dado que el tiempo es malo.
La probabilidad de que el tiempo sea malo y un estudiante se presente sería $(p_{b})P(B)$
La probabilidad de que el tiempo sea malo y un estudiante se presente sería $(p_g)(1-p(B))$
Dejemos que $n$ sea el número de alumnos de la clase.
Dejemos que $k$ sea el número mínimo de alumnos a los que el profesor pueda dar clase.
Para un alumno, la probabilidad de que se presente un día cualquiera es igual a la probabilidad de que se presente y el tiempo sea malo o de que se presente y el tiempo sea bueno.
Dado que el buen tiempo y el mal tiempo son sucesos disjuntos, esto significa que la probabilidad de que un estudiante se presente un día cualquiera es la suma de las dos probabilidades.
$P(S)=P(S \cap B)+P(S \cap B^C) = p_{b}P(B) + p_{g}(1-P(B))$
Digamos que queremos calcular la probabilidad total de que $j$ los estudiantes se presentan.
Entonces, tendríamos que calcular el número de formas que $j$ los estudiantes PUEDEN presentarse, lo que sería $n\choose{j}$ y multiplicarlo por la probabilidad de uno de los resultados específicos donde $j$ fuera del $n$ los estudiantes se presentaron, que sería: $(p_{b}P(B) + p_{g}(1-P(B)))^j *(1-p_{b}P(B) - p_{g}(1-P(B)))^{n-j}$
Así, la probabilidad total de que $j$ de la $n$ los estudiantes se presentan es:
$${n \choose j} (p_{b}P(B) + p_{g}(1-P(B)))^j *(1-p_{b}P(B) - p_{g}(1-P(B)))^{n-j}$$
Bien. Ya casi está. El profesor enseñará si al menos $k$ de la $n$ los estudiantes se presentan. Eso significa que enseñará si $k$ de ellos aparecen, o $k+1$ de ellos aparecen...etc...hasta si todos $n$ de ellos aparecen.
Cada uno de los eventos: $1$ estudiante se presenta, $2$ los estudiantes se presentan, $3$ los estudiantes se presentan... etc... son disjuntos. Por lo tanto, la probabilidad total de que ocurra uno u otro o el otro o ....etc.... de que ocurran es la suma de sus probabilidades individuales.
Por tanto, la probabilidad de que el profesor enseñe vendría dada por la probabilidad de que $k$ estudiantes se presentan + la probabilidad de que $k+1$ estudiantes se presenten más la probabilidad de que $k+2$ estudiantes se presentan más.....plus la probabilidad de que todos $n$ los estudiantes se presentan.
$$P(A) = \sum_{j=k}^{n} {n \choose j} (p_{b}P(B) + p_{g}(1-P(B)))^j *(1-p_{b}P(B) - p_{g}(1-P(B)))^{n-j}$$
VAYA. ¡Eso fue un montón de escritura! Si me has seguido hasta ahora, muchas gracias.
Sin embargo, ¡esa respuesta es incorrecta! Aquí está la respuesta correcta:
Ahora, la respuesta correcta tiene sentido para mí. Sin embargo, la mía también lo tiene... no veo en qué me he equivocado.
Pensé que tal vez ambos estábamos diciendo lo mismo, pero escribiéndolo de forma diferente. Pero luego lo probé en Wolfram Alpha y, por desgracia, las dos ecuaciones dan respuestas diferentes.
$n=10, \: k=3, \: p_b=0.4, \: p_g = 0.7, \: P(B)=0.8, \: (1-P(B))=0.2$
