Distancia más corta entre dos rectángulos en 2D

Question

Dados los puntos centrales y las dimensiones de dos rectángulos y los ángulos $\theta_1$ y $\theta_2$ cómo calcular la distancia más corta entre dos rectángulos ( $d$ )? $\theta$ es el ángulo que forma la longitud del rectángulo con $X$ eje en un $2D$ plano.

Answer 1

No es un problema trivial y requiere mucho esfuerzo. En otras palabras, se necesita un ordenador. También supondré que estás familiarizado con los cálculos elementales de la geometría analítica. En particular, deberías ser capaz de:

1. Calcula las coordenadas de todos los puntos de las esquinas de ambos rectángulos.
2. Determina si dos segmentos AB y CD se cruzan o no. Básicamente, se tiene la ecuación de la recta AB y la ecuación de la recta CD; si el punto de intersección M está entre A y B y también entre C y D, los segmentos se intersecan.
3. Encuentre una línea $p$ por el punto A perpendicular a la recta BC y hallar el punto de intersección D de la recta $p$ y la línea BC. También deberías ser capaz de determinar si el punto D se encuentra entre los puntos B y C.

Todo esto es bastante trivial y no entraré en detalles.

Paso 1: Tienes cuatro segmentos del primer rectángulo y cuatro segmentos del segundo. Utilizando (2) averigua si algún segmento del primer rectángulo se cruza con algún segmento del segundo rectángulo. Si cualquier par de segmentos tiene un punto de intersección, los rectángulos se solapan (o se tocan) y su distancia es cero. Si no es así, ve al paso 2.

Paso 2: Para cada punto de esquina del primer rectángulo, encuentre las distancias a todos los segmentos del segundo rectángulo aplicando (3). Tienes dos casos particulares:

Caso 1: La línea que pasa por el punto de esquina A del primer rectángulo perpendicular al segmento BC del segundo rectángulo interseca la línea BC en el punto D entre los puntos B y C. En este caso:

$$d=AD$$

Caso 2: La línea que pasa por el punto de esquina A del primer rectángulo perpendicular al segmento BC del segundo rectángulo interseca la línea BC en el punto D que no está entre los puntos B y C. En este caso:

$$d=\min(AB,AC)$$

Esto le da cuatro distancias para cada punto de la esquina del primer rectángulo. Para todo el primer rectángulo obtendrás un conjunto de 4x4=16 distancias diferentes $(d_1,d_2,...,d_{16})$ .

Paso 3: Repite el paso 2, pero esta vez considera las distancias desde los puntos de las esquinas del segundo rectángulo a los segmentos del primer rectángulo. Esto da otro conjunto de 16 distancias: $(d_{17},d_{18},...,d_{32})$ .

La distancia entre rectángulos es:

$$D=\min(d_1,d_2,...,d_{32})$$