Corestricción de una equivalencia de homotopía débil

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios topológicos. Sea $f: X \to Y$ sea un mapa continuo.

Recordemos que $f$ es un equivalencia débil de homotopía si $f$ induce isomorfismos de grupo isomorfismos en los grupos de homotopía, es decir $$\forall n \geq 1: \forall > x \in X: (\hat{f}: \pi_n(X, x) \to \pi_n(Y, f(x)): [p] \mapsto [f \circ p]) \text{ is an isomorphism}$$ y $f$ induce una biyección en el conjunto de componentes del camino, es decir $$(\hat{f}: \pi_0(X) \to \pi_0(Y): > [p] \mapsto [f(p)]) \text{ is a bijection}$$

Si restringimos el codominio a la imagen: $\hat{f}: X \to f(X)$ ¿sigue siendo una equivalencia débil de homotopía?

Esto me pareció un hecho elemental, pero al examinarlo más de cerca, no puedo decir si es cierto o no. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Parece que no es cierto. Llamemos al mapa restringido $g:X\rightarrow f(X)$ para no abusar del $\hat f$ notación. Así pues, dejemos que $f:[0,1]\rightarrow \mathbb C$ sea dada por $f(x)=e^{2\pi i x}$ . Dado que tanto el intervalo como el $\mathbb C$ son contraíbles tenemos que $f$ es una equivalencia homotópica débil ( $\hat f:\{0\}\rightarrow\{0\}$ es un isomorfismo para todo $n\geq 1$ y ambos tienen un componente de camino). Ahora $g:[0,1]\rightarrow f([0,1])=S^1$ dado por $g(x)=f(x)$ no es una equivalencia débil de homotopía; tome $n=1$ , $x=0$ , $\hat g:\pi_1([0,1],0)\rightarrow \pi_1(S^1,1)$ es un homomorfismo del grupo trivial a los enteros, por lo que no es un isomorfismo.