Desigualdad integral$\int_0^1\log \left(f(x)\right)dx\leq \log\left(\int_0^1f(x)dx\right)$

Question

Cómo probar esta desigualdad$$\int_0^1\log \left(f(x)\right)dx\leq \log\left(\int_0^1f(x)dx\right)$ $ para$f>0$.

Answer 1

$\log$ es cóncavo. Esto es solo la desigualdad de Jensen. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality. Observa la forma teórica de la medida. Por favor, comprueba que esto tiene sentido para ti.