Demostrar que $\sum\limits_{k=1}^{n-1} (n-k) x^k$ es no decreciente para $x \in ]-1,1[$ .

Question

Pregunta

Me gustaría mostrar por arbitrario $n \in \mathbb{N}$ que el polinomio: $$ p(x) := \sum_{k=1}^{n-1} (n-k) x^k $$ es no decreciente.

Inicio de la solución

Podemos escribir su derivada por: $$ p'(x) = \frac{(-(x + 1) (x^n-1) + n (x - 1) (x^n + 1))}{(x - 1)^3}, $$ como $(-1 + x)^3 < 0$ para $x \in ]-1,1[$ basta con demostrar que para un $n$ eso: $$ n(x-1) (x^n + 1) \leq (x+1)(x^n - 1), $$ para $n = 1$ esto es trivial (ya que ambos lados se vuelven iguales). Por lo tanto, suponemos que la desigualdad se mantiene para $n$ y mostrarlo para $n+1$ Aquí utilizo $x^{n+1} + 1 = x(x^n+1) + (1-x)$ utilizar la hipótesis de inducción pero no consigo la desigualdad a través de este método.

No hay raíces positivas

Por La regla del signo de Descartes vemos que $p'(x) = \sum\limits_{k=1}^{n-1}(n-k)k x^{k-1}$ no tiene raíces positivas, por lo que basta con demostrar que

Answer 1

Creo que lo he encontrado. Reemplacemos $n$ por $n+1$ para obtener: $$ p(x) = \sum_{k=1}^n(n+1-k)x^k, $$ ahora dejamos que la suma vaya de $0$ a $n-1$ : $$ p(x) = \sum_{k=0}^{n-1} (n-k)x^{k+1}, $$ tomando la derivada se obtiene: $$ p'(x) = \sum_{k=0}^{n-1}(n-k)(k+1)x^k $$ ahora basta con demostrar que $p'(x) \geq 0$ en $]-1,1[$ .

Se puede comprobar (por ejemplo con mathematica) que tenemos: $$ p'(x) = \frac{n(x^{n+1} + 1) - 2 (x^n + \dots + x))}{(x-1)^2}, $$

por lo que sólo tenemos que demostrar que $$\frac{(x^{n+1} + 1)}{2} \leq \frac{x^n+\dots+x}{n}.$$ Para $x \in ]-1,0]$ tenemos $\frac{(x^{n+1} + 1)}{2} \geq 0$ mientras que $ \frac{x^n+\dots+x}{n} = x(1-x^n)/(1-x) \leq 0$ por lo que podemos suponer $x \in [0,1[$ . Hacemos esta parte por inducción saltando el caso $n = 1$ . Tenemos: $$ \frac{x^{n+1} + \dots + x}{n+1} = \frac{nx \frac{x^n + \dots + x}{n} + x}{n+1} \leq \frac{nx \frac{x^{n+1} + 1}{2}+x}{n+1} \overset{?}{\leq} \frac{x^{n+2} + 1}{2}. $$ Queda por demostrar que la última desigualdad se mantiene. Restando el lado izquierdo del lado derecho obtenemos: $$ \frac{(x^{n+2} - ((n+2)x - n-1)}{2(m+1)}, $$ que es positivo como $x^{n+2}$ es convexa y la línea tangente en $1$ viene dada por $y = ((n+2)x - n -1)$ . Esto completa la prueba.