Principio de incertidumbre de Heisenberg y tiempo de vida del estado excitado

Question

Una relación clave en la espectroscopia óptica que también se utiliza para derivar el ancho de banda natural es:

$\Delta E \Delta t=$

$\Delta E$ es la incertidumbre energética de un estado, $\Delta t$ debe ser la incertidumbre de la vida útil $_b$ del estado. No entiendo por qué $\Delta t$ puede confundirse con la propia vida, $_b$ y la relación escrita como

$\Delta E _b=$

Answer 1

A efectos prácticos, el aspecto relevante de la relación entre las incertidumbres de tiempo y energía es que se trata de una relación de Fourier que explica cómo se relacionan las anchuras de los picos en un espectro (con anchos de línea en unidades de frecuencia) con las tasas de decaimiento de las señales dependientes del tiempo. Un decaimiento puede considerarse el resultado estadístico de muchos eventos independientes con una probabilidad media de ocurrir descrita por una constante de tiempo $\tau$ . Además, se puede demostrar mediante la transformada de Fourier que cuando una señal decae exponencialmente con constante de tiempo $\tau$ Esto conduce a una forma de pico lorentziano con una anchura a media altura proporcional a $\tau^{-1}$ . Es aún más sencillo demostrarlo en el caso de un Decaimiento con forma gaussiana con un ancho de línea ~ $\sigma_t$ . El pico de frecuencia resultante es entonces gaussiano con un ancho de línea ~ $\sigma_t^{-1}$ . Al multiplicar los parámetros de ancho de línea de las funciones gaussianas se obtiene:

$$\sigma_f\sigma_t=1$$

Si se utiliza la relación de Planck $E=h\nu$ si se deduce que

$$\sigma_E\sigma_t=h$$

Ahora, como se ha mencionado anteriormente, se puede pensar en la anchura de la decadencia gaussiana o lorentziana dependiente del tiempo como proporcional (o descrita por) una constante de tiempo $\tau$ (que es la descripción por defecto en el caso de los decaimientos exponenciales). De ello se desprende que

$$\sigma_E~\tau \approx h$$

Answer 2

El principio de incertidumbre de la energía del tiempo surge del hecho de que una función puede describirse como una suma de términos en una variable conjugada, como es el caso de cualquier transformada de Fourier. En este caso, las variables son la frecuencia y el tiempo. La incertidumbre tiempo-energía no parece tener un significado más fundamental que éste, a diferencia del principio de incertidumbre posición-momento de Heisenberg.

Como un estado excitado decae es necesario escribir la función de onda en una forma dependiente del tiempo. Si un estado puro tiene energía $E$ y de la función de las olas $\psi$ podemos escribir la función de onda dependiente del tiempo (o total) como $\displaystyle \varphi=\psi e^{-iE_0/\hbar}$ (donde $i=\sqrt{-1}$ et $\hbar =h/2\pi$ ) y es un estado estacionario porque la probabilidad de encontrarlo en ese estado es $|\varphi|^2=|\psi|^2$ que es una constante.

Sin embargo, si el estado decae, debido a las interacciones entre electrones/núcleos dentro de una molécula o con moléculas cercanas (colisiones, por ejemplo), y si el tiempo de vida es $\tau$ entonces la probabilidad de estar en el estado excitado en el momento $t$ es $\displaystyle |\varphi|^2=|\psi|^2 e^{-t/\tau}$ lo que significa que

$$ \varphi(t)=\psi e^{-iE_0t/\hbar-t/2\tau}$$

expresando esto como un producto $\displaystyle \varphi=\psi e^{-iE_0t/\hbar}e^{-t/2\tau}$ y utilizando la relación matemática $e^{ix}=\cos(ix)+i\sin(ix)$ muestra que la parte real de $\varphi$ oscila debido al término coseno y decae debido al término exponencial en $\tau$ . es decir, una oscilación amortiguada.

El cálculo es más fácil haciendo algunas sustituciones, por ejemplo la frecuencia es $\omega_0=E_0/\hbar$ y la constante de la tasa de decaimiento $\gamma=1/\tau$ entonces $\displaystyle \varphi=\psi \cos(\omega_0 t)e^{-\gamma/2}$ .

A medida que el estado excitado decae, la frecuencia de la radiación emitida no es monocromática, lo que sería si el estado no decae, sino que tiene una distribución de frecuencias que está relacionada con la decaída exponencial mediante una transformada de Fourier. Dicho de otro modo, el decaimiento exponencial puede construirse a partir de un conjunto de ondas, cada una de ellas con una frecuencia y amplitud diferentes, al igual que cualquier función normal puede construirse como una serie de Fourier. Esto significa que podemos encontrar una función $A$ tal que

$$\varphi(t) =\int A(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

donde

$$A(\omega) \approx \frac{1}{i(\omega-\omega_o)+\gamma/2}+\frac{1}{i(\omega+\omega_o)+\gamma/2}$$

La segunda fracción se aproxima a cero a medida que $\omega \to \omega_0$ es decir, cerca de la frecuencia de transición (o de la energía de transición), por lo que es insignificante en comparación con el primer término, en el que la diferencia de frecuencia tiende a cero. La intensidad de la transición es $A(\omega)^*A(\omega)$ donde * indica el complejo conjugado que da,

$$I(\omega)= \frac{\gamma/2}{(\omega-\omega_0)^2+(\gamma/2)^2}$$

donde la intensidad se normaliza a la unidad en todas las frecuencias. La anchura total de la mitad del máximo de la transición es

$$ \Delta\omega =\gamma , \text{ or} \qquad \Delta E\tau =\hbar $$

que es la incertidumbre "tiempo-energía" después de sustituir la energía.

Answer 3

Finalmente he encontrado la respuesta en el capítulo 3 de Mecánica Cuántica de Griffiths; El $\Delta t$ en el principio de incertidumbre energía-tiempo no es la desviación estándar de una colección de medidas de tiempo (como $\Delta E$ ) sino que es el tiempo que tarda el sistema en cambiar sustancialmente;

Como medida de la rapidez con la que cambia el sistema, calculemos la derivada temporal del valor de la expectativa de un Oobservable $Q(x,p,t)$ :

$\frac{d}{dt} \langle Q \rangle = \frac{d}{dt} \langle \Psi | Q \Psi \rangle = \langle \frac{\partial \Psi}{\partial t} | Q \Psi \rangle +\langle \Psi| \frac{\partial Q}{\partial t} \Psi \rangle + \langle \Psi | Q \frac{\partial \Psi}{\partial t} \rangle$

Ahora, la ecuación de Schroedinger dice

$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = H \Psi$

así que

$\frac{d}{dt} \langle Q \rangle = -\frac{1}{i\hbar} \langle H \Psi | Q \Psi \rangle +\frac{1}{i\hbar} \langle \Psi | H Q \Psi \rangle + \langle \frac{\partial Q}{\partial t}\rangle$

Dado que H es hermitiano $\langle H\Psi | Q \Psi \rangle = \langle \Psi |HQ\Psi \rangle$ Por lo tanto

$\frac{d}{dt} \langle Q \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat A,\hat B] \rangle + \langle \frac{\partial Q}{\partial t}\rangle $

Si considera que el operador $\hat{Q}$ independientes del tiempo (Operadores que dependen explícitamente por $t$ son bastante raros), y la forma general del principio de incertidumbre:

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 (\frac{1}{2i} \langle [\hat A,\hat B] \rangle)^2$

Si A=H y B=Q tienes finalmente:

$\sigma_H^2 \sigma_Q^2 (\frac{1}{2i} \langle [\hat H,\hat Q] \rangle)^2 = \left(\frac{1}{2i} \frac{\hbar}{i} \frac{d\langle Q \rangle}{dt}\right)^2 =\left(\frac{\hbar}{2}\right)^2 \left(\frac{d \langle Q \rangle}{dt}\right)^2$

y más simplemente

$\sigma_H^2 \sigma_Q^2 \frac{\hbar}{2}\left|\frac{d \langle Q \rangle}{dt}\right| $

Al definir $\Delta E \equiv \sigma_H$ et

$\Delta t \equiv \frac{\sigma_Q}{d \langle Q \rangle/dt}$

entonces

$\Delta E \Delta t \frac{\hbar}{2}$

El punto importante a entender (que me confundió) es que $\Delta t$ representa la cantidad de tiempo que tarda el valor esperado de Q en cambiar una desviación estándar (por tanto, en $\tau_b$ ) y no la desviación estándar de una colección de medidas de tiempo