Descomposición de k[G]

Question

Hay una descomposición bien conocida de $L^2(G)$ una representación regular del grupo complejo compacto Lie $G$ , llamado Teorema de Peter-Weyl .

Resulta que por alguna razón yo pensar automáticamente que existe un teorema similar que descompone la representación regular $k[G]$ de algebraico grupo $G$ :

$$k[G] = \bigoplus_R \ R^* \otimes R$$

donde la suma va sobre las representaciones a $GL(n, k)$ . Para que esto funcione creo que necesitamos $G$ para ser un grupo lineal reductor sobre, digamos, un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica 0. Además, tal vez necesitemos $\pi_1(G) = 1$ .

Pero tal vez no sea cierto: la búsqueda no me ha dado todavía una referencia, pero tampoco he podido dar un contraejemplo.

Consideremos, por ejemplo, el grupo multiplicativo $\mathbb G_m$ . Entonces $k[\mathbb G_m] = k[x, x^{-1}]$ donde cada sumando $k\cdot x^n$ es una representación separada de $\mathbb G_m$ en $\mathbb G_m = GL(1, k)$ , en concreto el que viene dado por $a \mapsto a^n$ . Así que la identidad funciona.

Entonces, ¿existe tal teorema? ¿Qué es una referencia o un contraejemplo?

Answer 1

Esto es cierto para los grupos reductores, más o menos por definición. Una representación algebraica de un grupo algebraico es un códice V sobre el álgebra de funciones O(G) del grupo. Por tanto, toda representación V induce un mapa V -> V ⊗ O(G), o equivalentemente V^* ⊗ V --> O(G) (llamamos al origen de este mapa C(V) por espacio de coeficientes de V). No es difícil ver que este último es un mapa de módulos G x G. Si G es reductor, entonces su categoría de representación es semisimple, y por tanto también lo es la categoría de representación de G x G. En este caso los simples de G x G son producto tensorial externo de simples de V, y Hom(A ⊗' B, C ⊗' D) = d(A,C) ⊗ d(B,D) donde d(V,W)=0 si v \cong W, C si no. Aquí ⊗' significa producto tensorial externo. No parece haber un ⊠

Para los grupos no reductores, todavía se puede formar O(G) de forma análoga:

Sea A = ⊕ _V V^* ⊗' V, donde aquí la suma es sobre TODOS los módulos dimensionales finitos V (no sólo los representantes de las isoclases, y no sólo los simples), y de nuevo el producto tensorial es externo, por lo que esto vive en una terminación de Rep(G) ⊗' Rep(G), y ⊗' significa producto tensorial de Deligne de las categorías.

Bien, este A es demasiado grande, pero ahora cotejemos A con las imágenes de f^* ⊗' id - id ⊗' f, para todo f:V-->W. Esto recorta A, por ejemplo identifica C(V) y C(V') siempre que V y V' sean isomorfos. Si la categoría Rep(G) es semisimple, se pueden utilizar de forma similar los proyectores y las inclusiones de objetos simples para reducir a una descomposición de tipo Peter-Weyl.

Una cosa buena de esta construcción (incluso en el caso semi-simple) es que está libre de bases porque no se eligen representantes de objetos simples, y además hace que la estructura de multiplicación sea completamente trivial: V^* ⊗' V ⊗ ₂ W^* ⊗' W = V^* ⊗ W^* ⊗' V ⊗ W --> W^* ⊗ V^* ⊗' V ⊗ W, utilizando el trenzado (intercambio de tensor). También funciona en categorías tensoriales trenzadas y explica la estructura de multiplicación en el grupo cuántico "covariante".

Answer 2

Esta afirmación es falso en general para grupos algebraicos. Es cierto en la característica 0, pero no es cierto en general en la característica positiva. En cambio, se tiene una afirmación más débil en característica positiva (véase la Proposición 4.20 sobre página 213 en "Grupos Algebraicos" de Jantzen ):

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico lineal reductor sobre un campo algebraicamente cerrado de característica positiva $k$ . Entonces $k[G]$ tiene una filtración creciente cuyos subcocientes son de la forma $H(\lambda) \otimes H(-w_0 \lambda)$ , donde $\lambda$ recorre los pesos dominantes para $G$ y el $H(\lambda)$ son los módulos que surgen como secciones globales de haces de líneas en la variedad bandera de $G$ (el llamado módulos costandard para $G$ ).

Además, esto es cierto cuando $k[G]$ se considera como un $G\times G$ -módulo.

Nótese que, a diferencia de la característica 0, estos módulos $V$ no son en general irreducibles. (Vale la pena señalar que la categoría de módulos sobre un grupo algebraico reductor no es en general una categoría semisimple - esto sólo es cierto en la característica 0).

Answer 3

El resultado es cierto para grupos algebraicos lineales reductores sobre C. La suma es sobre todas las (clases de isomorfismo de) representaciones regulares irreducibles de dimensión finita y el isomorfismo es un isomorfismo de G \times Módulos G.

Véase el teorema 12.1.4 de Goodman y Wallach Representaciones e invariantes de los grupos clásicos .