Algebraic$n$ - toro y topológico$n$ - torus

Question

Trabajando con el campo$\mathbb C$, uno puede encontrar dos objetos diferentes llamados "torus":

- Algebraic$n$ - Torus que es$(\mathbb C^\ast)^n$

- Topológico$n$ - Torus definido (por ejemplo) como el grupo cociente$\mathbb C^n/\Lambda$ donde$\Lambda$ es una red en$\mathbb C^n$.

¿Cuál es la relación entre estos dos objetos? (Ciertamente, el toro algebraico contiene el toro topológico).

Answer 1

• Son homotopy equivalente.
• El último puede ser considerado como la máxima compacto subgrupo de los primeros; en ese sentido están en una relación análoga a la relación entre el $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ (algebraicas) y $\text{U}(n)$ (topológico), y, de hecho, la algebraicas toro es el subgrupo de la diagonal de las matrices en la antigua y la topológico toro es el subgrupo de la diagonal de las matrices en el último.
• Tienen la misma teoría de la representación en un sentido (lo cual también es cierto para $\text{GL}_n(\mathbb{C})$$\text{U}(n)$).
• La Mentira de álgebra de la primera es la complejización de la Mentira de álgebra de la última.