Tamaño del condensador para carga de corriente conocida

Question

Disculpas de antemano por la pregunta larga, pero me han llegado a un callejón sin salida, tratando de trabajar a través de una interesante tamaño del condensador problema. Estoy esperando que alguien aquí puede ayudar.

Descripción Del Problema

Tengo una variable de corriente de carga que consta de varios motores DC va a través de un conjunto de pre-secuencia de ejecución. Para el período de tiempo de interés, tengo la carga de la corriente a lo largo del tiempo. Este fue calculado utilizando los motores de torsión requisitos para esta aplicación, y se compone de muchos puntos separados a intervalos regulares en todo el período de la muestra. Estos datos muestran que, como es de esperar, hay alta de picos de corriente en la corriente de carga. Quiero calcular el mínimo de condensador de tamaño \$C\$ , de modo que la tensión del condensador \$v_c(t)\$ nunca cae por debajo del 90% de la tensión de alimentación \$V_s\$, suponiendo que \$v_c(0)=V_s\$. A continuación es un diagrama simplificado del problema.

Esquemático

^{simular este circuito – Esquema creado mediante CircuitLab}

Los Valores Conocidos

• \$V_s\$ y \$R_s\$ son conocidos
• Momento de máxima corriente de pico \$t_{peak}\$ es conocida
• \$i_{load}(t)\$ es conocido en un intervalo de muestreo de \$t=0\$ a un punto más allá de \$t=t_{peak}\$
• \$v_c(t)\$ es conocido por dos valores de \$t\$:
  • \$v_c(0) = V_s\$
  • \$v_c(t_{peak}) \geq 0.9V_s\$

Suponga que la fuente \$V_s\$ puede suministrar el infinito actual. Idealmente, me gustaría también saber cómo resolver esto si hay un límite de corriente en \$V_s\$, pero esta hipótesis simplifica el problema.

Solución Intento

Empiezo por la equiparación de dentro y fuera de las corrientes en el nodo con la etiqueta \$v_c(t)\$:

$$ i_s(t) = i_c(t) + i_{load}(t) \label{kcl} \etiqueta{1} $$

Sabemos \$i_{load}(t)\$, y los otros dos valores pueden ser representados fácilmente:

$$ i_s(t) = \frac{V_s - v_c(t)}{R_s} \\ i_c(t) = C\frac{dv_c}{dt} $$

Sustituyendo en \ref{kcl}, obtenemos: $$ \frac{V_s - v_c(t)}{R_s} = C\frac{dv_c}{dt} + i_{load}(t) $$

Reordenando, obtenemos:

$$ \begin{align} \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c(t)}{R_sC} = \frac{V_s - R_si_{load}(t)}{R_sC} \label{origEq} \tag{2} \end{align} $$

Estoy tratando de resolver este primer orden de la ecuación diferencial lineal de \$v_c(t)\$, y el uso de las condiciones a partir de los Valores Conocidos de la sección de resolver para un mínimo de capacitancia \$C\$. Para resolver, lo primero que se puede encontrar un factor integrante \$\mu(t)\$:

$$ \begin{align} \mu(t) &= e^{\int{\frac{1}{R_sC}dt}} \\ &= e^{\frac{t}{R_sC}} \end{align} $$

Multiplicando ambos lados de \ref{origEq} \$\mu(t)\$,

$$ e^{\frac{t}{R_sC}}\frac{dv_c}{dt} + e^{\frac{t}{R_sC}}\frac{v_c(t)}{R_sC} = e^{\frac{t}{R_sC}}\frac{V_s - R_si_{load}(t)}{R_sC} $$ Utilizando la regla del producto, $$ \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{t}{R_sC}}v_c(t)\right) = e^{\frac{t}{R_sC}}\frac{V_s - R_si_{load}(t)}{R_sC} $$ Ahora, yo elegí \$0\$ y \$t_{peak}\$ como los límites de la integración, porque esas son las dos veces \$t\$ por que sé que tanto \$v_c(t)\$ y \$i_{load}(t)\$. La integración, $$ \begin{align} \int_0^{t_{peak}}{\frac{d}{dt}\left(e^{\frac{t}{R_sC}}v_c(t)\right)dt} &= \int_0^{t_{peak}}{e^{\frac{t}{R_sC}}\frac{V_s - R_si_{load}(t)}{R_sC}dt} \\ \left.\left(e^{\frac{t}{R_sC}}v_c(t)\right)\right|_0^{t_{peak}} &= \frac{V_s}{R_sC}\int_0^{t_{peak}}{e^\frac{t}{R_sC}dt} - \frac{1}{C}\int_0^{t_{peak}}{i_{load}(t)e^\frac{t}{R_sC}dt} \\ &= \left.\left(V_se^\frac{t}{R_sC}\right)\right|_0^{t_{peak}} - \frac{1}{C}\int_0^{t_{peak}}{i_{load}(t)e^\frac{t}{R_sC}dt} \end{align} $$

Sé que se puede aproximar la integral definida \$\int_0^{t_{peak}}{i_{load}(t) dt}\$ a través de una suma de Riemann , porque sé \$i_{load}(t)\$ para este periodo de tiempo, pero no puedo evaluar a los últimos integral debido a que el desconocido \$C\$ todavía está presente. El intento de integración por partes en este aislado integral,

$$ \begin{align} f(t) &= \int_0^{t_{peak}}{i_{load}(t)e^\frac{t}{R_sC}dt} \label{f} \tag{3} \\ u = e^\frac{t}{R_sC} &\implies du = \frac{1}{R_sC}e^\frac{t}{R_sC}dt \\ dv = i_{load}(t) dt &\implies v = \int{i_{load}(t)dt} \end{align} $$

Aquí es donde he golpeado una pared. Yo no puedo evaluar la integral indefinida \$\int{i_{load}(t)dt}\$ porque sólo sé \$i_{load}(t)\$ como un conjunto de puntos discretos. Si al intentar aproximar \$v\$ como una integral definida \$\int_0^{t_{peak}}{i_{load}(t)dt}\$, entonces la integral \$f(t)\$ en \ref{f} evalúa a \$0\$, que creo que es incorrecto.

Alguna idea sobre dónde ir desde aquí?

Answer 1

Me gustaría utilizar un enfoque más sencillo: el condensador es sólo necesaria para actuar como amortiguador para el alta de picos de corriente. Acaba de obtener la duración de la (mayor) de la espiga (t_duration) y la altura de la (mayor) de la espiga (I_max) a partir de los datos que tengo ("Para el período de tiempo de interés, tengo la carga de la corriente a lo largo del tiempo.").
Los condensadores de tensión nunca debe descender por debajo del 90%, de modo que dv = 10% * Vs.

Uso
$$i = C*dv/dt $$

$$ C = \frac{ I_{max} * t_{duration} } { 0.1 * V_s}$$

Esto producirá un condensador más grande de lo necesario, por lo que la caída de tensión será bastante menos del 10% de Vs.

Otro enfoque es el de simular el circuito es de las Especias, poner los datos ("Para el período de tiempo de interés, tengo la carga de la corriente a lo largo del tiempo.") en una Pieza de sabios lineal de la fuente de corriente. Elegir un valor inicial de C, como, por ejemplo, 100uF (o utilice el valor dado en el primer enfoque) y ajustar mediante la ejecución de un par de simulaciones.

Si realmente queremos solucionar su enfoque, me permito sugerir, de manera iterativa, recogiendo los valores de C y evaluar la integral definida.

Answer 2

El enfoque por @Huisman respuesta es el adecuado para un primer orden de aproximación, si usted siente que conduce a una gran condensador para su aplicación se puede proceder a la otra evidente simplificación.

Suponga que el capacitor será del 95% Vs y por lo tanto Vs proporcionará 5% * Vs / Rs. Que es un aproximado de la corriente originada a partir de Vs como una constante corriente que se resta de la carga. Esto conduce a:

$$ C_{mediados} = \frac{(I_{max} - 0.05*V_s/R_s) * t_{duración} }{ 0.1 * V_s } $$ $$ C_{mediados} = \frac{I_{max} * t_{duración} }{ 0.1 * V_s } - \frac{t_{duración}}{2*R_s} $$ $$ C_{mediados} = C_{max} - \frac{t_{duración}}{2*R_s} $$

Esto es aproximadamente equivalente a un trapezoidal aproximación a la corriente suministrada por la fuente y estaría más cerca de la real condensador de tamaño, pero a diferencia de la anterior aproximación, no será un límite superior.

Sin embargo, puede derivar un evidente límite inferior para el condensador por el supuesto de que Vs suministra la corriente máxima durante toda la duración de la descarga:

$$ C_{límite inferior} = \frac{(I_{max} - 0.1*V_s/R_s) * t_{duración} }{ 0.1 * V_s } $$ $$ C_{límite inferior} = C_{max} - \frac{t_{duración}}{R_s} $$

Esto va directamente decirle si usted está ladrando fuera de la derecha del árbol.