Si $f(x) = p \sin x + qx \cos x + x^2$ se define para todos los $x,q,p \in \Bbb R$ y $f(2) = 3$ encontrar $f(-2)$ .

Question

Me estoy preparando para el GRE Subject Test in Mathematics y desgraciadamente me he encontrado con que no puedo entender la forma en que se debe hacer el siguiente problema. La opción correcta es D pero no puedo deducirlo.

Para $x=2$ obtenemos $-1 = p\sin 2 + 2q\cos 2$ . Desde $x=-2$ es simétrico con $x=2$ alrededor del $y$ -el valor del seno debe cambiar su signo ( $\sin 2 = -\sin (-2)$ ) y el valor del coseno es similar ( $\cos2 = \cos(-2)$ ), pero seguimos teniendo una ecuación con dos incógnitas. ¿Cómo debo proceder a la respuesta?

Answer 1

Sugerencia :

$$f(x)+f(-x)=(p\sin x + qx \cos x + x^2) + (p\sin(-x) + q(-x)\cos (-x) + (-x)^2\\=p\sin x + qx\cos x + x^2 - p\sin x - qx \cos x + x^2$$

Ahora simplifica la ecuación (muchas cosas se anulan) y enchufa $x=2$ .

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Una alternativa sería escribir directamente

$$f(-2)=p\sin(-2) + -2q\cos 2 + 4 = (-p\sin(2) - 2q\cos 2 - 2^2) + 2^2 + 4 = -f(2)+8$$

Answer 2

$$f\left( -2 \right) =p\sin { \left( -2 \right) -2q\cos { 2 } +4 } =-p\sin { 2 } -2q\cos { 2 } +4=\\ =-\left( \underset { -1 }{ \underbrace { p\sin { 2+ } 2q\cos { 2 } } } \right) +4=\color{red}{5}$$

Answer 3

Se nos da que $f(x)=u(x)+x^2$ con $u$ una función impar. En $3=f(2)=u(2)+2^2$ se deduce que $u(2)=-1$ Por lo tanto $f(-2)=-u(2)+(-2)^2=5$ .

Answer 4

$f(2)=p\sin 2+2q\cos 2+4$ , mientras que $f(-2)=-p\sin 2-2q\cos 2+4$ . Si $f(2)=3$ entonces $p\sin 2+2q\cos 2=-1$ Así que $f(-2)=-(-1)+4=5$ .