Demostrar que $f^g$ es diferenciable mediante límites

Question

Dejemos que $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f:A \to (0, \infty), \: g:A \to \mathbb{R}$ sean dos funciones diferenciables. Demostrar que $f^g:A \to \mathbb{R}$ también es diferenciable, usando límites.

Dejemos que $x_0 \in A$ ser arbitrario. En otras palabras, tenemos que demostrar que hay un número finito $$l=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)^{g(x)}-f(x_0)^{g(x_0)}}{x-x_0}$$ Intenté obtener un factor común fuera del límite: $$l=f(x_0)^{g(x_0)}\lim_{x \to x_0}\frac{\frac{f(x)^{g(x)}}{f(x_0)^{g(x_0)}}-1}{x-x_0}$$ pero no estoy muy seguro de cómo continuar.

Answer 1

Está procediendo en la dirección correcta. El siguiente paso es escribir $f^{g} /f_{0}^{g_{0}}$ en términos de funciones exponenciales y logarítmicas como $$\exp\log\frac{f(x) ^{g(x)}} {f(x_{0})^{g(x_{0})}} =\exp(g(x)\log f(x) - g(x_{0})\log f(x_{0}))$$ y observe que el argumento de $\exp$ tiende a $0$ como $x\to x_{0}$ . Denotando este complicado argumento por $t$ podemos ver que la derivada viene dada por $$\lim_{x\to x_{0}}f(x_{0})^{g(x_{0})}\cdot\frac{\exp(t)-1}{t}\cdot\frac{t}{x-x_{0}}$$ y esto es lo mismo que $$f(x_{0})^{g(x_{0})}\lim_{x\to x_{0}}\frac{g(x)\log f(x) - g(x_{0})\log f(x_{0})}{x-x_{0}}$$ Espero que puedas seguir adelante.

Answer 2

La composición de funciones diferenciables es diferenciable (regla de la cadena), al igual que el producto de funciones diferenciables (regla del producto). Por tanto, la función $\ln f(x)$ es diferenciable, por lo que $g(x)\ln f(x)$ es diferenciable. Así,

$$f(x)^{g(x)} = \exp (g(x)\ln f(x))$$

es diferenciable.

Answer 3

Desgraciadamente, tampoco estoy seguro de cómo hacer esto utilizando el límite. Dejemos que $F=f^g$ .

\begin{align*} \log F(x) &= g(x) \log f(x)\\ \frac{F'(x)}{F(x)} &= g'(x)\log f(x) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\\ F'(x) &= f(x)^{g(x)} \left\{g'(x)\log f(x) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right\} \end{align*}