La convergencia de Cauchy en probabilidad implica la existencia de un límite (a.e. finito) $X$

Question

Convergencia de Cauchy de una secuencia $X_n$ de variables aleatorias en probabilidad implica la existencia de un $X$ (e.a. finito), tal que $X_n$ converge a $X$ en probabilidad.

La pista del problema sugiere construir una subsecuencia $n_k$ para que $\sum_{k=1}^\infty P\left(|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k\right) < \infty$ y esto lo he conseguido, demostrando que de hecho tengo una subsecuencia con $\sum_{k=1}^\infty P\left(|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k\right) \leq \sum_{k=1}^\infty 1/2^k = 1 < \infty$ . Pero ahora que tengo esta subsecuencia, no me queda claro cómo implica que una variable aleatoria límite $X$ existe. Creo que me estoy perdiendo algo obvio, pero no consigo entenderlo.

Answer 1

Usted tiene $\sum_{k=1}^\infty P(|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k) < \infty$ vamos a mostrar casi con seguridad $\{X_{n_k}\}$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$ y cualquier otro espacio métrico completo).

Es fácil ver $$E\sum_{k=1}^\infty 1_{\{|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k\}} = \sum_{k=1}^\infty P(|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k) < \infty$$

lo que implica $\sum_{k=1}^\infty 1_{\{|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| > 1/2^k\}}$ es finito casi con toda seguridad. Es decir, casi seguro $\exists N(\omega)$ tal que para todo $k > N(\omega)$ tenemos $|X_{n_{k-1}} - X_{n_k}| \leq \dfrac{1}{2^k}$

Para cualquier $\epsilon >0$ Toma $K$ tal que $\dfrac{1}{2^K} < \epsilon$ y $M = \max\{K, N(\omega)\}$ . Entonces para cualquier $l>k >M$ tenemos

$$|X_{n_l} - X_{n_k}| \leq \sum_{i=k+1}^{l}|X_{n_i} - X_{n_{i-1}}| \leq \sum_{i=k+1}^l \dfrac{1}{2^i} \leq \sum_{i=k+1}^{\infty} \dfrac{1}{2^i} = \frac{1}{2^k} < \frac{1}{2^K} <\epsilon.$$

Así que vemos $\{X_{n_k}\}$ son casi con seguridad una sucesión de Cauchy, defina $X$ como su límite casi seguro, por supuesto $X$ es casi seguro finito.

A continuación, utilice el hecho \begin{align} P(|X_n - X| > \epsilon) &<P\left(|X_n - X_{n_k}| + |X_{n_k} - X| >\epsilon\right) \\ &< P\left(|X_n - X_{n_k}| > \frac{\epsilon}{2}) + P(|X_{n_k} - X|>\dfrac{\epsilon}{2}\right) \end{align}

y $X_{n}$ convergencia de Cauchy en probabilidad y $X_{n_k} \to X$ casi con toda seguridad a concluir.

Answer 2

Por el lema de Borel-Cantelli $$ P\left(\cap_{i=1}^\infty \cup_{k=i}^\infty\left\{\mid X_{n_{k-1}} - X_{n_k}\mid>2^{-k}\right\}\right) =0, $$ así que para todos $\omega$ excepto los pertenecientes a un suceso de probabilidad $0$ la secuencia $X_{n_k}(\omega)$ es una sucesión de Cauchy de números reales, que a su vez debe converger a un límite finito, que se puede denotar $X(\omega)$ . Así que $X_{n_k}$ converge casi con seguridad a $X$ .