¿Cuántos grupos no isomorfos de orden 30 hay?

Question

Dejemos que $|G|=30$ . He demostrado que existe el único subgrupo de orden $15$ que denotaré $H$ . Ahora sí sé cómo clasificar el grupo. Después de pensar, hice los siguientes pasos.

1) Posible orden del subgrupo $K$ de $G$ de orden 2 son 1, 3, 5, 15.

Caso 1. si $G$ contienen sólo un elemento de orden 2, entonces $G \cong Z_{30}$ .

Ahora no puedo resolver los siguientes pasos. Por favor, dame alguna pista o cualquier otro método.

Answer 1

Pistas:

1) Sólo hay una posibilidad abeliano grupo de orden $\,30\,$

2) Cualquier grupo $\,G\,$ de orden 30 tiene un subgrupo $\,H\,$ de orden $\,15\,$ que es normal y abeliano -de hecho, cíclico- (¿por qué y para qué?), y por tanto $\,G\cong H\rtimes Q\,$ para algún subgrupo $\,Q:=\langle\,q\,\rangle\,$ de orden dos.

Desde $\,\operatorname{Aut}(H)\cong C_2\times C_4\,$ (¿por qué?) , hay al menos cuatro posibles homomorfismos $\,Q\to\operatorname{Aut}(H)\,$ , todas ellas convoluciones: (i) mapeo $\,q\,$ al generador del factor $\,C_2\,$ (ii) a $\,p^2\;,\;\;p=$ el generador de $\,C_4\,$ y (iii) al elemento $\,(q,p)\in C_2\times C_4\,$ (el homomorfismo trivial da el grupo abeliano que ya teníamos antes).

Comprueba que los tres homomorfismos no triviales anteriores dan tres grupos no isomorfos de orden $\;30\;$ .

Answer 2

Existe una descripción general de los grupos con subgrupos Sylow cíclicos:

Marshall Hall, The Theory of Groups - Theorem 9.4.3.