Argumento a favor de la simetría del potencial.

Question

Considere la siguiente carga electrostática de la configuración de un esféricamente simétrico, perfecto conductor con carga total $Q = 2q$ donde $q > 0$. Un punto de carga en $q$ se coloca en la posición que se muestra.

Se nos pide calcular el potencial eléctrico $V(r)$ a pie $r$ desde el centro de $r > c$ $b < r < c$ con la convención de las $V(\infty) = 0$. Esta pregunta parece presuponer que el potencial de $V$ es incluso simétrica. Está claro que este es el caso de la $r = c$, ya que un conductor es siempre una superficie equipotencial. Sin embargo, no veo por qué no podría no ser asimetrías para $r > c$, teniendo en cuenta el hecho de que la distribución no es simétrica. Entonces, ¿cuál es el argumento de esta simetría?

Si alguien respuestas utilizando las ecuaciones de Maxwell, se puede utilizar la integral de versiones?

Answer 1

No veo por qué no podría no ser asimetrías para r>c, teniendo en cuenta el hecho de que la distribución no es simétrica. Entonces, ¿cuál es el argumento de esta simetría?

Mira la figura a continuación,

En la etapa inicial, hay un campo eléctrico dentro del conductor( campo eléctrico creado por la carga en $q$ ) que dura una $infinitesimal$ $period$ $of$ $time$. Esto se debe a que los electrones libres en el conductor se mueven bajo la influencia del campo eléctrico. Bajo electrostática condiciones, el campo eléctrico dentro del conductor es cero debido a la redistribución de estos electrones libres. La distribución de carga se muestra en el diagrama anterior( ver el $Final$ ). Se ve claramente que en $-q$ aparece en la superficie interior del conductor como resultado de la redistribución( no distribuidos de manera uniforme ). Puesto que la carga se conserva, un cargo de $3q$ aparece en la superficie externa del conductor. La carga de la $3q$ distribuye uniformemente en la superficie externa del conductor.Este resultado es consistente con el de Gauss la ley.

Considere la posibilidad de la $Gaussian Surface$ como se muestra arriba. La carga neta encerrada por esta superficie es $zero$ e las $flux$ asociado con esta superficie también es $zero$ que nos dice que el $electric field$ en el interior del conductor es $zero$.

Matemáticamente,

$$\iint \vec{E} \cdot \vec{\mathrm{d}A} = \frac{q}{\epsilon_0}$$

Desde $q$ = 0, $\vec{E} = 0$.

Ahora, si puedo mover la carga en $q$ cualquier lugar dentro de la cavidad, la distribución de carga en la superficie exterior, no serán afectados. Aunque la distribución de carga en la parte interior, el conductor va a cambiar como resultado del cambio en la posición de $q$( recuerde que hay un campo eléctrico en la cavidad ), la distribución de carga en el exterior de la superficie se mantenga uniforme. Por qué? Es porque no hay campo eléctrico dentro del conductor y sabemos que las cargas estáticas responder a los campos eléctricos. Para los cargos presentes en el interior de las paredes del conductor para interactuar con los cargos presentes en la superficie externa, eléctrico tiene que estar ahí, que en este caso es $zero$. Así, la carga de la $3q$ sigue siendo distribuidos uniformemente sobre la superficie exterior del conductor. Este fenómeno se llama $electrostatic$ $shielding$.

Para $r > c$, $\mathbf{V} = \frac{3q}{4\Pi \epsilon_0(r)}$

Para $r = c$, $\mathbf{V} = \frac{3q}{4\Pi \epsilon_0(c)}$

Para $b < r < c$, $\mathbf{V} = \frac{3q}{4\Pi \epsilon_0(c)}$ (¿Por Qué?)

Eso es porque, no hay campo eléctrico dentro del conductor que implica $\Delta\boldsymbol{V} = 0$. Así, bajo electrostática condiciones, el potencial en la superficie del conductor es igual a la potencial en cualquier lugar en el interior del conductor. También, la superficie del conductor es un $equipotential$ $surface$.

Answer 2

Supongamos que el potencial en el exterior de la superficie metálica es $V_s$. Entonces el potencial fuera de la esfera está dado por la solución de la ecuación de Laplace en ese dominio. Sin embargo, es fácil demostrar que el potencial $$V(\mathbf{r})=V_s\frac{c}{|\mathbf{r}|}$$ satisfies Laplace's equation on the domain $|\mathbf{r}|\geq c$.

Ya que las soluciones a la ecuación de Laplace son únicos, se deduce que el potencial es esféricamente simétrica fuera de la esfera. La única tarea es determinar lo $V_s$, que lo voy a dejar para usted (en realidad yo no recuerdo cómo se calcula).