Demostrar que $\,\,\displaystyle\inf_{n\in\mathbb N}\sum_{k=0}^{p}\lvert\sin{(n+k)^p}\rvert>0$

Question

Para cualquier número entero positivo $p$, muestran que $$\inf\left\{ {\left\vert\sin{(n^p)}\right\vert+\left\vert\sin{(n+1)^p}\right\vert+\cdots+ \left\vert\,\sin{(n+p)^p}\right\vert\, :\,n\in \mathbb{N}}\right\}>0. $$

Mi intento. Sólo puedo probar para $p=2$. He probado los siguientes $$\vert\sin{(n+1)^2}\vert+\vert\sin{(n-1)^2}\vert+\vert\sin{n^2}\vert\ge\dfrac{1}{2}\sin{2}$$

Lema. para cualquier $x,y$ hemos $$ \lvert\sin{x}\rvert+\lvert\sin{y}\rvert\ge\lvert\sin{(x-y)}\rvert. $$

Este lema es fácil de probar.

Prueba: \begin{align*} &|\sin{(n+1)^2}|+|\sin{(n-1)^2}|+|\sin{n^2}|\ge\dfrac{1}{2}[\sin{(n+1)^2}|+|\sin{(n-1)^2}|+2|\sin{n^2}|]\\ &\ge\dfrac{1}{2}(|\sin{[(n+1)^2-n^2]}|+|\sin{[n^2-(n-1)^2]}|)\\ &\ge\dfrac{1}{2}|\sin{[(n+1)^2+(n-1)^2-2n^2]}|=\dfrac{1}{2}\sin{2} \end{align*}

Pero mi problema no puedo,

Este problema es a partir de un análisis del problema del libro. De este autor solo una pista, tomamos nota de esta $$\sum_{i=0}^{p}(-1)^i\binom{p}{i}(n+p-i)^p=p!$$ Pero no puedo. Gracias

Answer 1

Vamos a suponer que $$ \inf_{n\in\mathbb N}\lvert\sin{(n^p)}\rvert +\lvert\sin{(n+1)^p}\rvert+\cdots+\lvert\sin{(n+p)^p}\rvert=0. $$ A continuación, para cada $\varepsilon>0$, entonces existe un $n$, de tal forma que: $\lvert\sin{(n+j)^p}\rvert<\varepsilon/2$, para cada $j=0,1,\ldots,p$.

Pero $\lvert\sin x\rvert<\varepsilon$ implica que existe un $m\in\mathbb Z$, de tal manera que $\lvert x-m\pi\rvert<\varepsilon$.

Por lo tanto, no existe $m_j\in\mathbb N$, de tal manera que $$ \lvert m_j\pi-(n+j)^p\rvert<\varepsilon, \quad\text{para todo}\,\,\, j=0,1,\ldots,p.\la etiqueta{1} $$ o, equivalentemente, $$ (n+j)^p=m_j\pi+\delta_j, \quad\text{con}\,\,\, \lvert\delta_j\rvert<\varepsilon. \etiqueta{1'} $$ Vamos a utilizar la siguiente identidad (que fue una sugerencia dada la OP): $$ \sum_{k=0}^p(-1)^k\binom{p}{k}(n+p-k)^p=p!\la etiqueta{2} $$ Véase la fórmula (10) en los Coeficientes Binomiales. Combinación de $(1')$ $(2)$ ofrece $$ p!=\sum_{k=0}^p(-1)^k\binom{p}{k}(m_j\pi+\delta_j)=N\pi+\pi\sum_{k=0}^p(-1)^k\binom{p}{k}\delta_j $$ donde $N=\sum_{k=0}^p(-1)^k\binom{p}{k}m_j$ es un número entero. Así $$ |p!-N\pi|\le \pi\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}|\delta_j|\le \varepsilon\pi\sum_{k=0}^p\binom{p}{k} =\pi 2^p\varepsilon. \etiqueta{3} $$ Esta es una contradicción puesto que el lado izquierdo no puede ser demasiado pequeño para los diferentes valores de $n$ $\pi$ es irracional. De hecho $$ |p!-N\pi|\ge \min\left\{p!-\pi\left\lfloor\frac{p!}{\pi}\right\rfloor, \pi\left\lfloor\frac{p!}{\pi}\right\rfloor+\pi-p!\right\}>0. $$ Por otro lado, habiendo asumido $(1)$, el lado izquierdo de $(3)$ puede ser arbitrariamente pequeño.

Esto es una contradicción, y por lo tanto $$ \inf_{n\in\mathbb N}\lvert\sin{(n^p)}\rvert+\lvert\sin{(n+1)^p}\rvert +\cdots+\lvert\sin{(n+p)^p}\rvert>0. $$ Ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Answer 2

Así, el autor casi resolvieron el problema para usted dando el toque. Permítanme añadir sólo algunos detalles.

Como demostrar que $\inf\{ |\sin n^p|+|\sin (n+1)^p|+...|\sin (n+p)^p|\}$ está delimitado de $0,$ en otras palabras todos términos $|\sin (n+i)^p|$ $0\le i\le p$ no puede ser demasiado pequeña al mismo tiempo. Esto a su vez, es equivalente a decir que todos $(n+i)^p,$ $0\le i\le p$ no se puede cerrar a $\pi n_i$ simultáneamente. Pero, como se indicó anteriormente, $$\sum_{i=0}^p(n+i-p)^p {n\choose i}=p!\in\mathbb{Z},$ $

y $\inf_{n\in\mathbb{N}}|\pi n-p!|>0$ que implica el resultado.