Deje $G$ ha $n$ vértices, donde $n\ge 4$. Decir que una gráfica tiene la propiedad $J$ si se trata de la combinación de dos gráficos de cada una de orden, al menos,$2$.
Para la primera pregunta, si empezamos con $K_n$ y retire $n-2$ de las aristas incidentes en un vértice $v$, el gráfico resultante no tiene la propiedad $J$. Por lo tanto, el número mínimo de aristas necesarias para garantizar que el $G$ propiedad $J$ al menos $$\binom{n}2-(n-2)+1=\binom{n}2-n+3\;.$$, Y de hecho así lo hace el truco.
Supongamos que $G$ tiene al menos $\binom{n}2-n+3$ bordes. A continuación,$\overline{G}$, el complemento de a $G$, en la mayoría de las $n-3$ bordes, y el mayor componente de la $\overline{G}$ tiene más de $(n-3)+1=n-2$ vértices. Deje $V_0$ el conjunto de vértices en el componente más grande de $\overline{G}$, y deje $V_1$ ser el restante conjunto de vértices. A continuación,$|V_0|,|V_1|\ge 2$, e $\overline{G}$ no tiene ningún borde entre el$V_0$$V_2$, lo $G$ es la combinación de gráficos en $V_0$ $V_1$ y tiene la propiedad $J$.
Hasta ahora sólo tengo una respuesta parcial a la segunda pregunta, una muestra de que una bastante grande bound es necesario . Supongamos que $G$ es la combinación de $H$$K$. Si $u$ $v$ son vértices de $H$$K$, respectivamente, entonces debemos tener $\deg_Gu+\deg_Gv\ge n$. Los más débiles uniforme grado mínimo de condición en $G$ que asegura que este es exigir que $\deg_Gu\ge\left\lceil\frac{n}2\right\rceil$ para cada vértice $u$$G$. Sin embargo, esto es insuficiente para asegurar que $G$ tiene la propiedad deseada.
Para un contraejemplo, vamos a $n=2m$, y deje $H$ $K$ ser copias de $K_m$ con vértices $u_0,\ldots,u_{m-1}$$v_0,\ldots,v_{m-1}$, respectivamente. Deje $G$ ser distinto de la unión de $H$ $K$ junto con los bordes $\{u_k,v_k\}$$k=0,\ldots,m-1$. A continuación, $\deg_Gw=m=\frac{n}2$ para cada vértice $w$$G$, pero es fácil comprobar que si $m\ge 3$, $G$ no tiene la propiedad $J$.
