¿Es$\dot{f}(0)$ una función o un punto?

Question

Decir

\begin{align} g: & \mathbb R^m \to \mathbb R^n \\ \implies g': & \mathbb R^m \to \mathcal{L}(\mathbb R^m,\mathbb R^n) \\ \implies g'(0): & \mathbb R^m \to \mathbb R^n \end{align}

y se sabe que para algunos$v \in \mathbb R^m$ tiene$g'(0)v=w \in \mathbb R^n$.

Vamos a definir

\begin{align} f: \mathbb R &\to \mathbb R^n \\ t &\mapsto g(tv) \end{align}

Entonces

\begin{align} \dot{f}(t) & = \frac{d}{dt}f(t) \\ &=\frac{d}{dt}g(tv) \\ &=g'(tv)v \end{align}

Por lo tanto

\begin{align} \dot{f}(0) & = g'(0v)v \\ &=g'(0)v \\ &=w \end{align}

Es de mis apuntes donde acaban de concluir que$\dot{f}(0)=\partial g(0)v=w$. El intento de derivación es por mi.

Y la pregunta es: ¿no es$\dot{f}(0) \in \mathcal{L}(\mathbb R,\mathbb R^n)$? ¿Cómo es compatible con$w\in\mathbb R^n$? ¿Qué salió mal?

Answer 1

La notación especial $\dot{f}(t)$ podría ser definido para denotar $f'(t)(1)$, y así ser un elemento de $\mathbb{R}^n$.

De lo contrario, se trata de un tácito identificación de $\mathcal{L}(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$$\mathbb{R}^n$, que es común, ya que para cada espacio vectorial real $V$ tenemos una natural isomorfismo

$$\eta \colon \mathcal{L}(\mathbb{R},V) \xrightarrow{\cong} V;\quad \eta(\lambda) = \lambda(1),$$

desde un $\lambda$ es de la forma $\lambda(c) = c\cdot v$ algunos $v\in V$.

Cuando usted tiene un natural isomorfismo entre dos estructuras, a menudo es conveniente identificar a los dos, sin mencionar el isomorfismo. Desde ese punto de vista, $\dot{f}(t)$ "es" un punto en $\mathbb{R}^n$.