He empezado a aprender algo de física cuántica y uno a menudo se encuentra con funciones especiales (como polinomios de Legendre, polinomios de Laguerre, funciones de Bessel, ...). Muchos de los cálculos con estas funciones son inmensamente simplificado (o tal vez sólo posible?) haciendo uso de una generación de función.
Mi libro de física por desgracia no da pruebas de que las funciones de generación en efecto, generar las funciones, y, por ejemplo, para el siguiente, yo no soy capaz de hacerlo yo mismo:
Se afirma que
$$U(\rho, s) = \frac{\exp[-\rho s/(1-s)]}{1-s} = \sum_{q=0}^\infty \frac{L_q(\rho)}{q!}s^q$$
es una generación de la función de los polinomios de Laguerre $L_q(\rho)$, definido por
$$L_q(\rho) = e^\rho \frac{\mathrm d^q}{\mathrm d\rho^q}\left(\rho^q e^{-\rho}\right)$$
He jugado un poco con ella, pero no fue capaz de demostrar que $U(\rho, s)$ ha reclamado la serie de desarrollo en torno a $s = 0$. Buscando al azar a través de algunos libros de funciones especiales, yo no era capaz de encontrar una prueba de esto. Así que mis preguntas son:
- ¿Qué es un buen libro sobre funciones especiales - uno en el que me iba a encontrar este material (las funciones y las relaciones se utiliza principalmente en la física atómica, tal vez)?
- Puede que alguien me muestre cómo demostrar esta identidad particular o dar una referencia?
La física del libro en el que estoy trabajando es la Física de los Átomos y de las Moléculas por Bransden y Joachain.
